Su conjetura es correcta.
Démonos cuenta de que podemos volver a escribir la expresión como
$$\int_0^1 \left|\int_0^1 f(x)-f(y)\,dy\right|\,dx = \int_0^1 |f(x) - \bar{f}|\,dx$$ where $\bar{f} = \int_0^1 f(y)\,dy$.
Para $k=0$, la de Cauchy-Schwarz desigualdad da
$$\begin{align*}
\left(\int_0^1 |f(x)-\bar{f}|\,dx\right)^2 &\le \int_0^1 (f(x)-\bar{f})^2\,dx \\
&= \int_0^1 f(x)^2\,dx - 2 \bar{f} \int_0^1 f(x)\,dx + \bar{f}^2 \\
&= \int_0^1 f(x)^2\,dx - \bar{f}^2 \\
&\le \int_0^1 f(x)^2\,dx \le 1.\end{align*}$$
Por lo tanto $\sigma_0 \le 1$. Podemos demostrar esto es agudo dejando $f$ ser una función suave con $f=-1$$[0, \frac{1}{2}- \epsilon]$, e $f=1$$[\frac{1}{2} + \epsilon, 1]$.
El $k \ge 1$ de los casos de la siguiente manera a partir de los resultados de la siguiente ponencia:
Seng-Kee Chua y Richard L. Wheeden. Una nota aguda 1-dimensional de Poincaré de las desigualdades. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 134(8) 2309-2316, 2006. El acceso abierto PDF.
Los autores demuestran, en nuestra notación, que para cualquier $p > 1$ y cualquier Lipschitz $f$ definido en $[0,1]$, tenemos
$$\| f - \bar{f}\|_{L^1} \le \frac{1}{2} (1+p')^{-1/p'} \|f'\|_{L^p}$$
donde presumiblemente $1/p + 1/p' = 1$ (esta sería la convención habitual, aunque los autores no parecen escribirlo). Para $f \in A_k$ tenemos $\|f'\|_{L^p} \le \|f'\|_\infty \le 1$, por lo tanto, dejar $p \to \infty$ $p' \to 1$ obtenemos el enlazado $\|f - \bar{f}\|_{L^1} \le \frac{1}{4}$ como se desee. Su ejemplo $f(x) = x$ señala que esto es fuerte.
