supremum de $\int |\int f(x)-f(y)\,dy| \,dx$.

Question

Vamos $A_k$, $k\in \mathbb{N}$, ser parte de la familia de $C^\infty([0,1])$ funciones definidas por $$A_k=\{||f^{(j)}||_{\infty}\le 1,\;\;0\le j \le k \}$$ donde $||\cdot||_{\infty}$ denota el supremum norma $[0,1]$ $f^{(k)}$ es la k-ésima derivada de $f$. Definimos $$\sigma_k=\sup \left\{\int_0^1\left|\int_0^1f(x)-f(y)\,y\right|\,dx ,\;\; f\en A_k\right\}$$

¿Cuál es el valor de $\sigma_k$?

Editar:

Creo $\sigma_0=1$. Creo $\sigma_k= \frac{1}{4}$ todos los $k>0$ ($f=x$ el supremum).

No es tarea y no está relacionado con mi trabajo. Sólo por curiosidad. Espero que lo encuentres interesante. (((El problema resultó ser poco interesante.))) Gracias.

Answer 1

Su conjetura es correcta.

Démonos cuenta de que podemos volver a escribir la expresión como $$\int_0^1 \left|\int_0^1 f(x)-f(y)\,dy\right|\,dx = \int_0^1 |f(x) - \bar{f}|\,dx$$ where $\bar{f} = \int_0^1 f(y)\,dy$.

Para $k=0$, la de Cauchy-Schwarz desigualdad da $$\begin{align*} \left(\int_0^1 |f(x)-\bar{f}|\,dx\right)^2 &\le \int_0^1 (f(x)-\bar{f})^2\,dx \\ &= \int_0^1 f(x)^2\,dx - 2 \bar{f} \int_0^1 f(x)\,dx + \bar{f}^2 \\ &= \int_0^1 f(x)^2\,dx - \bar{f}^2 \\ &\le \int_0^1 f(x)^2\,dx \le 1.\end{align*}$$ Por lo tanto $\sigma_0 \le 1$. Podemos demostrar esto es agudo dejando $f$ ser una función suave con $f=-1$$[0, \frac{1}{2}- \epsilon]$, e $f=1$$[\frac{1}{2} + \epsilon, 1]$.

El $k \ge 1$ de los casos de la siguiente manera a partir de los resultados de la siguiente ponencia:

Seng-Kee Chua y Richard L. Wheeden. Una nota aguda 1-dimensional de Poincaré de las desigualdades. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 134(8) 2309-2316, 2006. El acceso abierto PDF.

Los autores demuestran, en nuestra notación, que para cualquier $p > 1$ y cualquier Lipschitz $f$ definido en $[0,1]$, tenemos $$\| f - \bar{f}\|_{L^1} \le \frac{1}{2} (1+p')^{-1/p'} \|f'\|_{L^p}$$ donde presumiblemente $1/p + 1/p' = 1$ (esta sería la convención habitual, aunque los autores no parecen escribirlo). Para $f \in A_k$ tenemos $\|f'\|_{L^p} \le \|f'\|_\infty \le 1$, por lo tanto, dejar $p \to \infty$ $p' \to 1$ obtenemos el enlazado $\|f - \bar{f}\|_{L^1} \le \frac{1}{4}$ como se desee. Su ejemplo $f(x) = x$ señala que esto es fuerte.