Probar : $\frac{\cos(x_1) +\cos(x_2) +\cdots+\cos(x_{10})}{\sin(x_1) +\sin(x_2) +\cdots+\sin(x_{10})} \ge 3$

Question

Si asumimos que: $0\le x_1,x_2,\ldots,x_{10}\le\frac{\pi}{2}$ tal forma que:

$$\sin^2 (x_1) +\sin^2 (x_2)+\cdots+\sin^2(x_{10})=1$$ Cómo probar que:

$$\frac{\cos(x_1) +\cos(x_2) +\cdots+\cos(x_{10})}{\sin(x_1) +\sin(x_2) +\cdots+\sin(x_{10})} \ge 3$$

Answer 1

Desde $$\sin^2(x_1)+\sin^2(x_2)+\dots+\sin^2(x_{10})=1\etiqueta{1}$$ tenemos $$\cos^2(x_1)+\cos^2(x_2)+\dots+\cos^2(x_{10})=9\etiqueta{2}$$ Por lo tanto, $$\frac{\cos^2(x_1)+\cos^2(x_2)+\dots+\cos^2(x_{10})}{\sin^2(x_1)+\sin^2(x_2)+\dots+\sin^2(x_{10})}=9\tag{3}$$ Tenga en cuenta que para $0\le x\le\frac\pi2$, tenemos que $$\cos(x)-3\sin(x)\ge0\quad\Leftrightarrow\quad\cos(x)+3\sin(x)-\frac6{\sqrt{10}}\le0\etiqueta{4}$$ ya que tanto cambiar de signo sólo en $\arctan(1/3)$:

$\hspace{2cm}$

Por lo tanto, $(4)$ inmediatamente se da $$\cos^2(x)-9\,\sin^2(x)\le\frac6{\sqrt{10}}(\cos(x)-3\sin(x))\etiqueta{5}$$ Sumando $(5)$ y la aplicación de $(3)$, obtenemos $$\begin{align} 0 &=\sum_{i=1}^{10}\cos^2(x_i)-9\,\sin^2(x_i)\\ &\le\frac6{\sqrt{10}}\sum_{i=1}^{10}\cos(x_i)-3\sin(x_i)\tag{6} \end{align}$$ La desigualdad de $(6)$ rendimientos $$\frac{\cos(x_1)+\cos(x_2)+\dots+\cos(x_{10})}{\sin(x_1)+\sin(x_2)+\dots+\sin(x_{10})}\ge3\etiqueta{7}$$

Answer 2

Por Cauchy-Schwarz

$$\left(\sin(x_1) +\sin(x_2) +\cdots+\sin(x_{10})\right)^2 \leq 9 \left( \sin^2(x_1) +\sin^2(x_2) +\cdots+\sin^2(x_{10})\right) =9$$

Así

$$\begin{equation} \sin(x_1) +\sin(x_2) +\cdots+\sin(x_{10}) \leq 3 \tag1 \end{equation}$$

También, desde la $$0 \leq \cos(x_i) \leq 1$$ nosotros

$$\cos^2(x_i) \leq \cos(x_i)$$

Así

$$\begin{equation} \cos(x_1) +\cos(x_2) +\cdots+\cos(x_{10}) \geq \cos^2(x_1) +\cos^2(x_2) +\cdots+\cos^2(x_{10})=9 \tag2 \end{equation}$$

La combinación de (1) y (2) se obtiene el resultado deseado.

P. S. ¿Cómo puedo etiqueta de ecuaciones?

Answer 3

Transformar a $y_i=\sin^2 x_i$. A continuación,$\sum_iy_i=1$, y con $\sin x_i=\sqrt{y_i}$ $\cos x_i=\sqrt{1-y_i}$ la desigualdad se convierte en

$$\sum_i\left(\sqrt{1-y_i}-3\sqrt{y_i}\right)\ge0\;.$$

El lado izquierdo es $10$ veces el valor promedio de $f(y)=\sqrt{1-y}-3\sqrt y$ a $y_i$. La gráfica de $f$ tiene un punto de inflexión en $y=1/\left(1+3^{-2/3}\right)\approx0.675$ y es convexa a la izquierda. Ninguno o uno de los $y_i$ puede ser a su derecha. Si no hay ninguno, el valor promedio de $f$ es mayor o igual que el valor en el promedio, $f(1/10)=0$. Si uno es, digamos, $y_i$, entonces podemos obligado el valor promedio de las restantes por el valor de su media, por lo que en este caso

$$\sum_i\left(\sqrt{1-y_i}-3\sqrt{y_i}\right)\ge\sqrt{1-y_1}-3\sqrt{y_1}+9\sqrt{1-(1-y_1)/9}-27\sqrt{(1-y_1)/9}\;.$$

Esto no es negativo con una sola raíz en $1/10$, por lo que la desigualdad se cumple en ambos casos.