¿Cuántos elementos de un anillo pueden ser invertibles?

Question

Si $R$ es un anillo finito (con identidad) pero no un campo, sea $U(R)$ sea su grupo de unidades. Es $\frac{|U(R)|}{|R|}$ se alejó de $1$ sobre todos esos anillos?

Hace tiempo que no me cascaba un libro de álgebra (bueno, aparte de intentar resolver esto hace poco), así que si alguien puede responder a esto, preferiría no alejarme demasiado de los primeros principios dentro de lo razonable.

Answer 1

$\mathbb{F}_p \times\mathbb{F}_q$ tiene $(p-1)(q-1)$ elementos invertibles, así que no.

Desde $\mathbb{F}_2^n$ tiene $1$ elemento invertible, la proporción tampoco está acotada lejos de $0$ .

Answer 2

Por cierto, el número $\# U(R)/ \#R$ es igual a $\sum_{\mathfrak{m}} \left(1-\frac{1}{\# R/\mathfrak{m}}\right)$ donde la suma abarca todos los ideales máximos $\mathfrak{m} \subseteq R$ .

Answer 3

El límite dado por navigetor23 es ajustado, por ejemplo, en el caso $R=\mathcal{O}/\langle p^2\rangle$ , donde $\mathcal{O}$ es el anillo de enteros de una extensión finita no ramificada del $p$ -número de radicales de grado $n$ : $|R|=p^{2n}$ y hay $p^n$ no unidades que consisten en los cosets en $p\mathcal{O}$ .