¿Por qué es ${x ^ {\frac {1} {2}}} $ igual $\sqrt x $?
Actualmente estoy estudiando índices/exponentes, y esto es una ley que me dijeron que aceptan sin prueba o explicación, podría alguien explicar el razonamiento detrás de esto.
Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cuando $m$ y $n$ son números enteros, tenemos la importante ley que $$x^m\cdot x^n =x^{m+n}$$
Nos gustaría de esta ley, para continuar manteniendo a la hora de definir $x^\alpha$ para las fracciones de $\alpha$, a menos que haya una buena razón por la que no debería. Si realmente queremos que continúe presionando para exponentes fraccionarios, entonces lo que nosotros decidimos que $x^{1/2}$, debe obedecer a la misma ley: $$x^{1/2}\cdot x^{1/2} = x^{1/2+1/2} = x^1 = x$$
y por lo que $x^{1/2} = \sqrt x$ es la única opción.
Del mismo modo, lo que debe $x^0$ significa? Si queremos que el derecho de seguir celebrando, necesitamos $$x^0\cdot x^n = x^{0+n} = x^n$$ y por lo tanto la única coherente elección es de $x^0 = 1$. Y de nuevo, ¿por qué $x^{-1} = \frac1x$? Debido a que la otra vez que la única elección que conserva la multiplicación de la ley, ya que necesitamos $x^{-1}\cdot x^{1} = x^{-1+1} = x^0 = 1$.
Pero hay más que eso. Más desarrollos matemáticos, que usted no ha visto todavía, confirman estas opciones. Por ejemplo, una muestra en el análisis que a medida que se añade más y más términos de la infinita cantidad de $$1 + x + \frac{x^2}2 + \frac{x^3}6 + \frac{x^4}{24} + \cdots$ de$ la suma más y más se aproximan el valor $e^x$, donde $e$ es una cierta importantes constante, de aproximadamente $2.71828$. Uno puede fácilmente comprobar numéricamente que esto tiene para varios valores enteros de $x$. Por ejemplo, cuando $x=1$, y tomando sólo los primeros cinco términos, obtenemos $$1 + 1 + \frac12 + \frac16 + \frac1{24}$$
que ya es de $2.708$, bastante cerca de $e^1$, y los restantes términos de la diferencia. Uno puede calcular $e^2$ por este método y también por simple multiplicación de $2.71828\cdot2.71828$ y obtener la misma respuesta.
Pero podemos ver por la inspección, que toma $x=0$ en esta fórmula da $e^0 = 1$ porque todos los términos desaparecen, excepto la primera. Y del mismo modo, si la ponemos en $x=\frac12$ conseguimos aproximadamente $1.648$, que es en realidad el valor de $\sqrt e$.
Si no obra de esta manera, se podría sospechar que algo estaba mal en alguna parte. Y, de hecho, ha ocurrido que los matemáticos han tratado de definir algo de una manera y, a continuación, la evolución posterior reveló que la definición no fue la de la derecha, y tuvo que ser revisado. Aquí, sin embargo, eso no sucedió.
