Dada una Mentira grupo, ¿cómo estás destinado a encontrar su Mentira álgebra? La Mentira de álgebra de Lie del grupo es el conjunto de todos los de la izquierda invariante vectorial de los campos, pero ¿cómo se determinan? Mi grupo es el conjunto de todos los afín mapas de $x \rightarrow A.x+v$ $R^n$ $R^n$en función de la composición.
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Aquí un vistazo ejemplo: ¿Qué es el álgebra de Lie del grupo de rotaciones en el espacio 3-dimensional, $SO(3)$?
Matrices de $A\in SO(3)$ son definidos por la propiedad de que se puede invertir y que el producto escalar es invariante $\langle A\vec x,A\vec y\rangle = \langle \vec x,\vec y\rangle$ para todos los vectores $\vec x,\vec y\in \mathbb R^3$. La expansión de la última condición en coordenadas, se puede ver que es equivalente a $A^TA = I$.
Para encontrar la Mentira de álgebra, tomar un camino liso $A(t)$$A(0) = I$. En primer orden, puede ser escrito como
$$A(t) = I + t·H + \mathcal O(t^2) .$$
Conectando a la condición de $A^TA=I$, tenemos en primer orden
$$I = (I+t·H)^T(I+t·H) = I + t·(H^T + H) .$$
Por lo tanto, la condición de la tanget vector $H$ es que es antisimétrica
$$ H^T = -H .$$
En otras palabras, la Mentira de álgebra de la rotación de grupo $SO(3)$ se compone de antisimétrica matrices 3x3, que debe tener el formulario
$$ H = \begin{pmatrix}0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0\end{pmatrix} .$$
No es difícil mostrar que exponentiating cualquier matriz de rendimiento de un elemento que conserva el producto escalar. Por lo tanto, esta es toda la Mentira de álgebra.
Por la forma, los elementos de la Mentira álgebra $so(3)$ son normalmente representados por la velocidad angular de la $\vec\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)$ tal que la multiplicación se convierte en el producto cruzado
$$ H·\vec x = \vec\omega \times \vec x .$$
Un método similar se aplica a su problema original. Por ejemplo, puede incrustar transformaciones afines de $\mathbb R^n$ a $GL_{n+1}(\mathbb R)$ por
$$ (x \mapsto Ax + v) \iff \begin{pmatrix} A & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in GL_{n+1}(\mathbb R).$$
Se puede expresar esto como una expresión algebraica condición: matriz $B\in GL_{n+1}(\mathbb R)$ representa un afín a la asignación de $\mathbb R^n$ si y sólo si
$$ (0,0,…,1)·B = (0,0,…,1) .$$
Esto inducirá una ecuación de la derivada primera de una ruta de $B(t)$ y como el anterior, se obtendrá la Mentira de álgebra como un conjunto de matrices.
Grzenio
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Para ampliar Qiaochu comentario: Su $G$ puede ser visto como el (cerrado) subgrupo de $\operatorname{GL}_{n+1}(\mathbb{R})$ dada por las matrices de la forma $$\begin{pmatrix} A & v \\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ with the usual group multiplication and acting on the affine subspace of vectors of the form $\begin{pmatrix} x \\\ 1 \end{pmatrix}$. If you understand why $\mathfrak{gl}_{n}(\mathbb{R}) = \operatorname{Mat}_{n}(\mathbb{R})$ with the commutator bracket $[X,Y] = XY - YX$ then you should have no difficulty in proving that $\mathfrak{g} = \operatorname{Mentira} G$ is given by the matrices of the form $\begin{pmatrix} X & y \\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ con el colector de soporte.
Para mí, la forma más sencilla para determinar el álgebra de Lie de un grupo de matrices es pensar en él como el espacio de la tangente a la identidad, construida por la tangente vectores de caminos a través de la identidad.
guruz
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Como Qiaochu dice, pensando en esto como una matriz de grupo es un buen primer paso. Entonces usted necesita para encontrar un parámetro vías lisas $A(t)$ a través de la unidad el elemento $I$ correspondiente a cada dirección de la tangente, donde $A(0)=I$. Tomando la derivada de estas vías lisas en $0$ los rendimientos de base para la Mentira de álgebra.
