Sí, hay una respuesta y buscando en sus cálculos supongo que sabe cómo conseguirlo:
$$ \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 \sqrt{a} - 2\sqrt{0} = 2 \sqrt{a} $$
El punto aquí es que a pesar de la gráfica de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ va al infinito al $x \to 0$, el área entre el eje x y de esta gráfica es perfectamente finito. Esto puede ser difícil de entender, pero se puede tratar de imaginar de la manera siguiente. Suponga que usted toma un número $\epsilon > 0$ y ahora se calcula el área comprendida entre el eje x, la gráfica de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ y las líneas verticales $x=\epsilon$$x=a$. Con la misma integral que ya hemos calculado, se obtiene que esta área es:
$$ \int_{\epsilon}^{a} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 \left( \sqrt{a} - \sqrt{\epsilon} \right) $$
Y ahora usted debe no estar preocupado por el hecho de que la gráfica de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ va al infinito, porque es perfectamente finito en $x = \epsilon$. Ahora hacer $\epsilon$ arbitrariamente pequeño, es decir, tomar el límite cuando $\epsilon \to 0$, el área se vuelve $2 \sqrt{a}$ y recupera el resultado anterior. El punto clave aquí es, desde un punto de vista intuitivo, que el intervalo de $(0, \epsilon)$ tiene una longitud de $\epsilon$, lo que tiende a cero. Así, aunque la función de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ bifurca cerca de $0$, esta zona de divergencia es tan pequeño que usted obtenga un área finita. Por supuesto, esto es sólo una pequeña intuitiva discusión tratando de arrojar luz sobre tu pregunta, no un razonamiento riguroso.
Para entender un poco más esta idea, supongamos que usted tome $p>0$ un número real diferente de 1. Entonces, se tiene:
$$ \int_{\epsilon}^{a} \frac{1}{x^{p}} dx = \left[ \frac{x^{-p+1}}{1-p} \right]_{\epsilon}^{a} = \frac{1}{1-p} \left( a^{1-p} - \epsilon^{1-p} \right) $$
Como se puede comprobar fácilmente, cuando tome $\epsilon \to 0$ el resultado converge si $p<1$ y diverge si $p>1$. A continuación, el ejemplo y con $\frac{1}{x}$ (que se aparta ya del logaritmo) es algún tipo de límite: funciones como $\frac{1}{\sqrt{x}}$ o $\frac{1}{x^{3/5}}$ divergen bastante lento cerca de 0 a tiene un área finita, sino $\frac{1}{x}$ o $\frac{1}{x^4}$ no.