¿Por qué es el área bajo $\frac1{\sqrt{x}}$ finito y el área bajo $\frac1x$ infinito?

Question

Si esta integral se calcula analíticamente,

$$\int_0^1 \frac1{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{1}-2\sqrt{0}=2.$$

Sin embargo, la gráfica de $\dfrac1{\sqrt{x}}\to \infty$$x\to 0$, de manera que el área bajo la gráfica debe acercarse a infinito.

En contraste, la integral:

$$\int_0^1 \frac1{x} dx = \ln1-\ln0 =\infty.$$

De hecho, en el gráfico de $\dfrac1x\to \infty $$x\to 0$, de manera que el área bajo la gráfica debe acercarse a infinito.

Mi pregunta: la línea roja representa La $\dfrac1{\sqrt{x}}$ y la línea azul representa el $\dfrac1x$. ¿Cómo es que el área bajo la línea roja es finito y el área bajo la línea azul es infinito?

Answer 1

No hay ninguna contradicción: sólo porque una función va a $\infty$ $0$ no significa integral, cerca de $0$ debería ser infinito.

Si usted insiste en la interpretación de la integral como el área, he aquí una manera de ver que el área bajo la curva de $y = 1/\sqrt{x}$ $0$ $1$es finito. El área bajo la curva de $y = 1/\sqrt{x}$ $0$ $1$es el área de la región delimitada por la $x$-eje, el $y$-eje, la línea de $x=1$, e $y = 1/\sqrt{x}$. Pero si pensamos en la integración en el $y$-dirección, esto también se puede interpretar como el área de la región delimitada por $y=0$, $x = 1/y^2$, $x=0$, y $x=1$. Este está dado por la integral $$ 1 + \int_1^\infty \frac{1}{y^2}~dy = 1 + 1 = 2. $$ (El $1$ al principio viene de la plaza de$0$$1$. Usted debe dibujar la región I se describe a ver a lo que me refiero.)

Observe cómo he calculado el área de la misma región, pero me las he arreglado para evitar cualquier singularidades.

En general, esto es algo muy común en el cálculo. Hay otros aparentemente imprevisibles resultados, tales como una curva de infinito perímetro de delimitación de un área finita (copo de nieve de Koch) o de una superficie de revolución con infinita superficie que delimitan una región de volumen finito (Gabriel horn).

Answer 2

Sí, hay una respuesta y buscando en sus cálculos supongo que sabe cómo conseguirlo:

$$ \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 \sqrt{a} - 2\sqrt{0} = 2 \sqrt{a} $$

El punto aquí es que a pesar de la gráfica de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ va al infinito al $x \to 0$, el área entre el eje x y de esta gráfica es perfectamente finito. Esto puede ser difícil de entender, pero se puede tratar de imaginar de la manera siguiente. Suponga que usted toma un número $\epsilon > 0$ y ahora se calcula el área comprendida entre el eje x, la gráfica de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ y las líneas verticales $x=\epsilon$$x=a$. Con la misma integral que ya hemos calculado, se obtiene que esta área es:

$$ \int_{\epsilon}^{a} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 \left( \sqrt{a} - \sqrt{\epsilon} \right) $$

Y ahora usted debe no estar preocupado por el hecho de que la gráfica de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ va al infinito, porque es perfectamente finito en $x = \epsilon$. Ahora hacer $\epsilon$ arbitrariamente pequeño, es decir, tomar el límite cuando $\epsilon \to 0$, el área se vuelve $2 \sqrt{a}$ y recupera el resultado anterior. El punto clave aquí es, desde un punto de vista intuitivo, que el intervalo de $(0, \epsilon)$ tiene una longitud de $\epsilon$, lo que tiende a cero. Así, aunque la función de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ bifurca cerca de $0$, esta zona de divergencia es tan pequeño que usted obtenga un área finita. Por supuesto, esto es sólo una pequeña intuitiva discusión tratando de arrojar luz sobre tu pregunta, no un razonamiento riguroso.

Para entender un poco más esta idea, supongamos que usted tome $p>0$ un número real diferente de 1. Entonces, se tiene:

$$ \int_{\epsilon}^{a} \frac{1}{x^{p}} dx = \left[ \frac{x^{-p+1}}{1-p} \right]_{\epsilon}^{a} = \frac{1}{1-p} \left( a^{1-p} - \epsilon^{1-p} \right) $$

Como se puede comprobar fácilmente, cuando tome $\epsilon \to 0$ el resultado converge si $p<1$ y diverge si $p>1$. A continuación, el ejemplo y con $\frac{1}{x}$ (que se aparta ya del logaritmo) es algún tipo de límite: funciones como $\frac{1}{\sqrt{x}}$ o $\frac{1}{x^{3/5}}$ divergen bastante lento cerca de 0 a tiene un área finita, sino $\frac{1}{x}$ o $\frac{1}{x^4}$ no.

Answer 3

Por escritura tanto de las integrales en forma de límite de la suma obtenemos $$\int_0^1 \frac1{\sqrt{x}} dx =\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n {\frac {\sqrt n}{\sqrt{ k}} }=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\frac {1}{\sqrt{ nk}} }=\lim_{n\to\infty} \frac{H_n^{1/2}}{\sqrt{n}}=2 $$ Pero la siguiente Integral cuando se expresa como límite de la sumaDiverge! $$\int_0^1 \frac1{x} dx =\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n {\frac{n}{k} } =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n {\frac{1}{k} }$$