Serie de Fourier que implican el Símbolo de Jacobi

Question

Sabemos que la Serie de Fourier $$s(x)=\sum_{k\neq0}\frac{1}{k}\exp\left(2\pi ik x\right)$$ corresponds to the sawtooth function, $s(x)=\left\{x\right\} -\frac{1}{2}$. Suppose that $\left(\frac{k}{d}\right)$ is the Jacobi Symbol, which is zero when $(d,k)>1$.

Mi pregunta es: ¿Cuál es la función de $f_d(x)$ correspondiente a la de la Serie de Fourier $$f_d(x)=\sum_{k\neq0}\left(\frac{k}{d}\right)\frac{1}{k}\exp\left(2\pi ikx\right),$$ y ¿cómo podemos encontrar esta función?

Gracias,

Answer 1

Para cualquier carácter primitivo $\chi$ mod $N$, la suma finita $\sum_{a\;mod\;N} \;\chi(a)\,s(x+{a\over N})$, el resultado de su suma, multiplicada por la suma de Gauss.

Edit: en respuesta al comentario/pregunta, creo que no hay una manera más simple expresión para la suma de $a$ mod $N$, exactamente debido a la suposición de que el personaje conductor de $N$. En el frente de caso(s), por ejemplo, que el carácter $\chi$ es trivial, de hecho, no es la cancelación. Pero con el primitivity asunción, el riff es que $\sum_a \chi(a)\,e^{2\pi i na/N} = \overline{\chi}(n)\,\sum_a \chi(a)\,e^{2\pi i a/N}$ $n$ primer a $N$. De hecho, ya que para que el (extraño!) cuadrática caracteres básicamente, esto da el número de clase (mediante el cálculo de $L(1,\chi)$, grave simplificación tendría que dar nueva y sorprendente información sobre los números de la clase, la cual no es un asunto trivial (ver Siegel, Heegner, Stark, Goldfeld, et alia).

Además edit: sí, en efecto, la fijación $x=0$ en la expansión de Fourier, literalmente, da (hasta algunas constantes y normalizaciones) $L(1,\chi)$ por extraño $\chi$. Debemos creer que la serie de Fourier converge pointwise lejos de las discontinuidades en los enteros, y lo hace: el habitual kernel de Dirichlet argumento demuestra la convergencia de finitely-funciones continuas a trozos en los puntos donde la función es-una-vez-continuamente diferenciable.

Edit: @J. M., acerca de si el cuadrática símbolo debe ser un símbolo de Jacobi o de Kronecker, ... la verdad es que la $k\rightarrow (k/d)_2$ debe ser de un carácter primitivo mod $N$. Así que, no, la "d" no tiene que ser el primer (que es el anterior, "Jacobi" sentido), pero puede ser compuesto (el más tarde, "de Kronecker" sentido).