Pruébalo: $\sqrt[3]{\frac{a^{2}+bc}{b^2+c^2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{2}+ac}{a^2+c^2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{2}+ab}{a^2+b^2}}\geq 9\frac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$

Question

Dejemos que $a,b,c\in \mathbb{R^+}$ .

Pruébalo: $\sqrt[3]{\frac{a^{2}+bc}{b^2+c^2}}+\sqrt[3]{\frac{b^{2}+ac}{a^2+c^2}}+\sqrt[3]{\frac{c^{2}+ab}{a^2+b^2}}\geq 9\frac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$

PD: No tengo ay ideas sobre este problema :(

Gracias

Answer 1

Por el Titular $\left(\sum\limits_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{b^2+c^2}}\right)^3\sum\limits_{cyc}(b^2+c^2)(a^2+bc)^3\geq\left(\sum\limits_{cyc}(a^2+ab)\right)^4$ . Por lo tanto, queda por demostrar que $\left(\sum\limits_{cyc}(a^2+ab)\right)^4(a+b+c)^3\geq729abc\sum\limits_{cyc}(b^2+c^2)(a^2+bc)^3$ , lo cual es obvio.

Answer 2

$\sqrt[3]{\dfrac{a^{2}+bc}{b^2+c^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{b^{2}+ac}{a^2+c^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{c^{2}+ab}{a^2+b^2}}\ge 3 \sqrt[3]{\sqrt[3]{\dfrac{a^{2}+bc}{b^2+c^2}}\sqrt[3]{\dfrac{b^{2}+ac}{a^2+c^2}}\sqrt[3]{\dfrac{c^{2}+ab}{a^2+b^2}}} \\ \iff \sqrt[3]{\sqrt[3]{\dfrac{a^{2}+bc}{b^2+c^2}}\sqrt[3]{\dfrac{b^{2}+ac}{a^2+c^2}}\sqrt[3]{\dfrac{c^{2}+ab}{a^2+b^2}}} \ge 3\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c} $

ahora probamos uno más fuerte :

$\sqrt[3]{\dfrac{a^{2}+bc}{b^2+c^2}}\sqrt[3]{\dfrac{b^{2}+ac}{a^2+c^2}}\sqrt[3]{\dfrac{c^{2}+ab}{a^2+b^2}}\ge \dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{a+b+c} \iff \dfrac{(a^{2}+bc)(b^{2}+ac)(c^{2}+ab)}{(b^2+c^2)(a^2+c^2)(a^2+b^2)} \ge \dfrac{3^3abc}{(a+b+c)^3} \iff \dfrac{(a+b+c)^3}{3^3abc} \ge \dfrac{(b^2+c^2)(a^2+c^2)(a^2+b^2)}{(a^{2}+bc)(b^{2}+ac)(c^{2}+ab)}$

hay un lema:

$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc} \ge \dfrac{(b^2+c^2)(a^2+c^2)(a^2+b^2)}{(a^{2}+bc)(b^{2}+ac)(c^{2}+ab)}$

Michael Rozenberg dio a este lema una buena prueba:

$(c^{2}+ab)(a+b)=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2) \ge 2 \sqrt{ab(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$

con AM-GM, es fácil de probar:

$\dfrac{(a+b+c)^3}{3^3abc} \ge \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}$

Answer 3

Esto es sólo una corazonada. En primer lugar, los términos son todos homogéneos del mismo grado. Eso es un buen comienzo. Poner $a=b=c=1$ . Esto da una igualdad exacta. Probablemente sea útil para algo. Lo más probable es que sea el máximo o el mínimo de la diferencia entre la izquierda y la derecha. Ahora varía $a$ de la reducción de la misma. Toma la derivada. Puedes suponer inicialmente que $b=c=1$ . Reducir $a$ de 1 a 0. Entonces la desigualdad se hace más fuerte al llegar a $a=0$ . Mi corazonada es que probablemente es monotónico todo el camino desde $a=1$ hasta $a=0$ . Se puede hacer lo mismo con el par $(b,c)$ mostrando convexidad o concavidad. Entonces el resultado debería aparecer mágicamente. Es sólo una corazonada.

PS. Así es como creo que se ve el gráfico.

Eso podría dar algunas pistas.