Matemáticas Cool que puedo mostrar a los estudiantes de cálculo.

Question

Soy un TA para los teóricos de álgebra lineal y cálculo curso de este semestre. Este es un curso avanzado para estudiantes de primer año de fuerte.

Cada sección de discusión estoy tratando de mostrar a mis alumnos (les dan como una serie de ejercicios que hacemos en la pizarra) algunos graves matemáticas que pueden comprender y apreciar. Por ejemplo, cuando estábamos hablando acerca de los productos cruzados, les mostré el isomorfismo entre $\mathbb{R}^3$, con la cruz del producto y de la Mentira álgebra $so(3)$. Por supuesto, yo no uso lenguaje elaborado, pero hemos demostrado Jacobi identidad para el producto cruzado, a continuación, hemos recogido una base en skew-simétrica matrices de $3\times 3$ y comprobado que cuando se conmuta estos tres vectores de la base, se obtiene exactamente la "regla de la mano derecha" para el producto cruzado. Así que estas dos cosas son la misma.

Por el lado de la recitación de los temas son: 1) valores y vectores propios; 2) real cuadráticas formas.

Puede usted, por favor, recomendar algunas cosas interesantes que podemos discutir con ellos para que aprendan acerca de los valores y formas, pero sin hacer aburridas cálculos? Por "cosas" me refiero a algunos problemas de matemáticas serias, pero cuando se explica correctamente que puede ser un buen ejercicio para los estudiantes.

Por otra parte, ¿sabe usted si hay un libro con graves matemáticas dado en accesible para los estudiantes de primer año de formulario (en la forma de ejercicios sería absolutamente genial!)?

Muchas gracias!

Answer 1

Si usted planea hablar acerca de la diagonalización de la matriz cuando se habla de autovalores, se puede mostrar cómo los valores propios pueden ser utilizados para dar formas cerradas lineal de las recurrencias. Por ejemplo, si $F_n$ indica $n$th de Fibonacci, entonces $$\left( \begin{matriz} F_{n+1} \\ F_n \end{matriz} \right)=\left(\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0 \end{matriz}\right)\left(\begin{matriz} F_n \\ F_{n-1} \end{matriz}\right)=\left(\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0 \end{matriz}\right)^n \left(\begin{matriz} 1 \\ 0 \end{matriz}\right).$$ Por diagonalizing, podemos encontrar una forma cerrada para la $$n º de Fibonacci, como una combinación lineal de los valores propios de la matriz $$\left(\begin{matrix}1 & 1 \\1 & 0 \end{matriz}\right).$$

Answer 2

Yo no estudio de la teoría de grafos, pero sí sé que si se considera la matriz de adyacencia de una gráfica, entonces hay cosas interesantes con sus valores propios y vectores propios.

También puede mostrar cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma $$ {x_1}'(t) = a_{11}x_1(t) + a_{12}x_2(t) + a_{13}x_3(t)\\ {x_2}'(t) = a_{21}x_1(t) + a_{22}x_2(t) + a_{23}x_3(t)\\ {x_3}'(t) = a_{31}x_1(t) + a_{32}x_2(t) + a_{33}x_3(t) $$ el uso de álgebra lineal. Vamos $$ x(t) = \begin{pmatrix} {x_1}(t)\\ {x_2}(t)\\ {x_3}(t) \end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}. $$ A continuación, el sistema se puede escribir como $x'(t) = Ax(t)$. Usted puede diagonalize (asumir su posible) para obtener una matriz invertible $P$ y la diagonal de la matriz $D$ de modo que $A = QDQ^{-1}$. Entonces $x'(t) = QDQ^{-1}x(t)$ o $P^{-1}x'(t) = DQ^{-1}x(t)$. Vamos $y(t) = Q^{-1}x(t)$. Entonces $y'(t) = Dy(t)$. Desde $D$ es diagonal, este es ahora un sistema de ecuaciones que es independiente de los otros que pueden ser resueltos fácilmente. Pensé que esto era una buena aplicación. Esto fue en mi libro de álgebra lineal por Friedberg, Insel y Spence.

Answer 3

Personalmente, recuerdo que mi álgebra lineal experiencia bien porque me enseñó acerca de anillos y módulos. Por desgracia, esta es una estrategia peligrosa, porque no muchas personas se sienten atraídos por esta abstracción :)

Sin embargo, recuerdo que goza de algunos de los proyectos en Álgebra Lineal Numérica por Trefethen y Bau ser muy divertido, directo a las aplicaciones de álgebra lineal. Específicamente, hubo un proyecto sobre el almacenamiento de imágenes, que se utilizan sucesivamente la mejora de la bajo-rango de aproximaciones. Fue interesante ver la imagen de evolucionar. La solución de mínimos cuadrados de los problemas también podría ser interesante. Los proyectos de hacer un buen trabajo de hacer autovalores y otros conceptos abstractos parecen muy prácticos.

Para mostrar esto, probablemente necesitan tener acceso a MATLAB. En realidad, la mitad de la diversión para que el estudiante está haciendo el proyecto con sus propias manos. Tener MATLAB hacer todos los cálculos alivia el estudiante formulario de tener que hacerlo: sólo pueden saborear los resultados! Usted podría ser capaz de esbozar algunos teóricos excursiones a explicar los resultados, mediante los proyectos sólo para motivar a la materia.

Answer 4

Creo que es interesante que la eigen-descomposición de la matriz de adyacencia de un grafo (combinatoria) conduce a realizaciones "armoniosas" geométricas de la gráfica.

Ver mi respuesta aquí.

Answer 5

Tal vez estos no ser lo suficientemente "serios" para usted, pero creo que los usos más interesantes de eigensystems son:

(1) comprensión/clasificación superficie cuádrica.

(2) momentos de inercia (ejes principales)

(3) análisis de componentes principales