Es esta la prueba correcta para : No $F(A)\cap F(B)\subseteq F(A\cap B) $ para todas las funciones $F$?

Question

Es esto una prueba de la correcta? Para demostrar $F(A)\cap F(B)\subseteq F(A\cap B) $ para todas las funciones $F$.

Vamos a cualquier número de $y\in F(A)\cap F(B)$. Queremos mostrar a $y\in F(A\cap B).$

Por lo tanto, $y\in F(A)$$y\in F(B)$, por definición de intersección.

Por definición de inversa, $y=F(x)$ algunos $x\in A$ $x\in B$

Y así, $y=F(x)$ algunos $x\in A\cap B$

Y por lo tanto, $y\in F(A\cap B)$

Tengo una sensación profunda de que algo está mal. Alguien me puede ayudar a localizar el error? No estoy seguro de por qué estoy teniendo mucho problemas con funciones. No estoy pensando en la dirección correcta?

Fuentes : 2nd Ed, P219 9.60 = 3a Ed, P235 9.12, 9.29 - Pruebas Matemáticas, por Gary Chartrand, P214 Teorema 12.4 - Libro de la Prueba, por Richard Hammack,
P257-258 - como para Demostrar que, por D Velleman.

Answer 1

Su intestino es el derecho. Algo que de hecho está muy mal: la declaración de que usted está tratando de demostrar que es falsa. He aquí un familiar contraejemplo: vamos a $F:\Bbb R\to\Bbb R:x\mapsto x^2$, vamos a $A$ el conjunto de los números reales negativos. y deje $B$ el conjunto de los números reales positivos. A continuación,$F[A]=F[B]=B$, lo $F[A]\cap F[B]=B$, pero $A\cap B=\varnothing$, lo $F[A\cap B]=\varnothing$. Claramente $B\nsubseteq\varnothing$!

El problema con el razonamiento, como se puede ver en el contraejemplo, es que a pesar de $x\in F[A]$ garantiza que $x=F(a)$ algunos $a\in A$, e $x\in F[B]$ garantiza que $x=F(b)$ algunos $b\in B$, no hay garantía de que $a=b$. No hay nada en absoluto en $A\cap B$.

Answer 2

La tercera línea es errónea. Sólo se sabe que existe una $x$ $A$ tal que $F(x)=y$, y usted sabe que hay un $z\in B$ tal que $F(z)=y$.

Es muy fácil encontrar un contraejemplo: dibujar dos conjuntos $A$, $B$ que son distintos, y asignar un $a\in A$ $b\in B$ a un solo punto. Entonces usted tiene que $y\in F(A)\cap F(B)$, pero $F(A\cap B)=\emptyset$.

Answer 3

Esto es incorrecto. Considere la posibilidad de $A=\{1,2\}$ $B=\{3,4\}$ y podemos definir $F(1)=F(3)=1,a$ no es igual a $c$ $A\cap B= \emptyset$ mientras $F(A)\cap F(B)$ no es igual a $\emptyset$. Este es un ejemplo contrario a su declaración

Answer 4

Aquí, $f: A \rightarrow B$ está en verde y $\{S_i\} = S_i$ $S = A, B$ $i = 1, 2.$
Esta imagen demuestra que $ f(A_1) \cap f(A_2) \not\subseteq f(A_1 \cap A_2)$. Por cierto, la misma imagen que funciona para Demostrar $f(C) \setminus f(D) \subseteq f(C \setminus D)$ y refutar la igualdad.