Evolución operador dependiente del tiempo de Hamilton

Question

Cuando estudié QM estoy trabajando sólo con el tiempo independiente Hamiltonianos. En este caso, la central unitaria de la evolución operador tiene la forma$$\hat{U}=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$$, que se desprende de esta ecuación $$ i\manejadores\frac{d}{dt}\hat{U}=H\hat{U}. $$ Y en este caso Hamiltoniano de Heisenberg de la imagen ($H_{H}$) es el mismo que el de Hamilton en la imagen de Schrödinger ($H_{S}$), es decir, desplazamientos con $\hat{U}$. Ahora tengo Hamiltonianos que depens explícitamente en el tiempo. Específicamente, $$H_{S}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega \hat{q}^2-F_0 \sin(\omega_0t)\hat{q}$$.

Y en mi problema necesito calcular el $H_H$ (Hamiltoniano de Heisenberg de la imagen).

He encontrado que la ecuación diferencial para $\hat{U}$ (he mencionado acerca de que la anterior). tiene solución general en la forma (con $U(0)=1$) $$U(t)=1+\xi\int\limits_0^t H(t')\,dt'+ \xi^2\int\limits_0^t H(t')\,dt'\int\limits_0^t' H(t'')\,dt''+\xi^3\int\limits_0^t H(t')\,dt'\int\limits_0^t' H(t'')\,dt''\int\limits_0^t'' H(t''')\,dt'''+...$$

Así que mis preguntas son:

• Hay otras maneras de calcular el $\hat{U}$, podría dar un link o decirme acerca de ellos?
• Si usted sabe la forma de la solución para mi caso, por favor dígame.
• Si usted sabe de cualquier artículo o artículos artículos en este topice, por favor, enlace a mí, también.

Answer 1

Sí, usted está en el camino correcto. La serie es llamado Dyson de la serie.

En primer lugar observamos que el $n$'th plazo parece $$ U_n = (-\frac{i}{\manejadores})^n\int_0^t dt_1 \cdots\int_0^{t_{n-1}} dt_{n} H(t_1)\cdots H(t_n) $$

El orden de los Hamiltonianos es importante, ya que trabajamos con los operadores. Cada término de la serie poseen una buena simetría, lo que nos permite escribir:

\begin{align} U_n =(-\frac{i}{\hbar})^n \int_0^t dt_1 \cdots\int_0^{t_{n-1}} dt_{n}\ H(t_1)\cdots H(t_n) = \frac{(-\frac{i}{\hbar})^n}{n!}\int_0^t dt_1 \cdots\int_0^t dt_{n} \mathcal{T}\left[H(t_1)\cdots H(t_n)\right] \end{align}

Sucedieron dos cosas: en primer lugar, "sobre cuenta" haciendo que los límites superiores igual a $t$ en todas las integrales. Esto es compensado por el factor de $\frac{1}{n!}$. Tendrás que convencer a ti mismo por qué este factor es necesario ;)

Segundo, por este cambio de área de integración nos desordena el orden de los Hamiltonianos en el proceso. Aquí es donde el tiempo de pedido símbolo $\mathcal{T}$. Básicamente, este operador se asegura de que la Hamiltonianos siempre se ordenan de la manera correcta. Por ejemplo, para $n=2$ opera como

\begin{align} \mathcal{T}[H(t_1)H(t_2)] = \begin{cases} H(t_1)H(t_2) & t_2 > t_1\\ H(t_2)H(t_1) & t_2 < t_1 \end{casos} \end{align}

Poniendo todo lo que juntos hemos

$$ U(t,t') = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-\frac{i}{\manejadores})^n}{n!} \int_{t}^t dt_1 \cdots\int_{t}^t dt_n \mathcal{T}[H(t_1)\cdots H(t_n)] $$ Con frecuencia, esto se representa simbólicamente como

$$ U(t,t') = \mathcal{T}\exp\left(-\frac{i}{\manejadores} \int_{t}^t H(t_1) dt_1\right) $$ Esta notación se entiende como la representación de la potencia de la serie.