De alguna manera me quedé atrapado en la línea siguiente en Oxtoby: "La clase de los conjuntos de Borel que tienen un $F_\sigma$ subconjunto y un $G_\delta$ superconjunto de la misma medida es un $\sigma$-álgebra que incluye todos los conjuntos cerrados." Nosotros trabajamos aquí con una medida de Borel (=medida definidos para todos los conjuntos de Borel) en un espacio métrico.
Tengo problemas para mostrar que
$$\mathcal S=\{A\subseteq X; (\exists F\subseteq A\subseteq G) \mu(G\setminus F)=0, F\text{ is }F_\sigma, G\text{ is }G_\delta\}$$
es una $\sigma$-álgebra.
Como Oxtoby dedica sólo un gramatical de la frase a este reclamo, supongo que debería ser relativamente fácil y estoy con vistas a algunos de los enfoque más sencillo.
Lo que he probado hasta ahora:
Complementa: $F\subseteq A\subseteq G$ $\Rightarrow$ $X\setminus G\subseteq X\setminus A\subseteq X\setminus F$.
Finito intersecciones: Vamos a $F_1\subseteq A\subseteq G_1$, $F_2\subseteq B\subseteq G_2$ y $\mu(G_1\setminus F_1)=\mu(G_2\setminus F_2)=0$. Entonces $F_1\cap F_2\subseteq A\cap B\subseteq G_1\cap G_2$ y
$$G_1\cap G_2\setminus F_1\cap F_2 = (G_1\cap G_2\setminus F_1)\cup (G_1\cap G_2\setminus F_2)\subseteq$$
$$\subseteq (G_1\setminus F_1)\cup(G_2\setminus F_2),$$
por lo tanto $\mu(G_1\cap G_2\setminus F_1\cap F_2)=0$. (También, $G_1\cap G_2$$G_\delta$$F_1\cap F_2$$F_\sigma$.)
Utilizando finito intersecciones y complementos, podemos mostrar que $\mathcal S$ es cerrado bajo las diferencias de pares de conjuntos.
Discontinuo contables de los sindicatos: Vamos a $F_i\subseteq A_i \subseteq G_i$ donde $A_i$'s son distintos conjuntos medibles.
A continuación, también se $A_i\subseteq G_i\setminus \bigcup\limits_{n\ne i}F_n=: G_i'$ $G_i'$'s son disjuntas $G_\delta$-conjuntos.
Así tenemos
$$\bigcup_{i=1}^\infty F_i \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty A_i \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty G'_i$$
y $\mu(\bigcup_{i=1}^\infty F_i)=\mu(\bigcup_{i=1}^\infty G'_i)$.
Pero no sé si discontinuo de la unión de $G_\delta$ define que es de nuevo un $G_\delta$-set.
EDIT 2: Como se muestra por Theo en la respuesta de abajo, no es cierto en general.
La utilización de las diferencias y discontinuo contables de los sindicatos, que podría conseguir arbitraria contables de los sindicatos.
También traté de demostrar que $\mathcal S$ es cerrado bajo contables intersecciones directamente de la definición de las $\mathcal S$, pero en los que la prueba de que he obtenido una contables intersección de $F_\sigma$-conjuntos, que no es necesariamente el $F_\sigma$.
EDITAR:
Basado en Theo sugerencia: Hay varios equivalente caracterizaciones de $\mathcal S$:
$$\mathcal S=\{A\subseteq X; (\forall \varepsilon>0)(\exists V\subseteq A\subseteq U) \mu(U\setminus V)<\varepsilon, V\text{ is close}, U\text{ is open}\}$$
$$\mathcal S=\{A\subseteq X; (\forall \varepsilon>0)(\exists F\subseteq A\subseteq U) \mu(U\setminus F)<\varepsilon, F\text{ is }F_\sigma, U\text{ is open}\}$$
Ahora puedo modificar el anterior de la construcción para trabajar en cualquier contables de la unión. Para un sistema de $\{A_i; i\in\mathbb N\}$ de los conjuntos de $\mathcal S$ I elegir $F_i\subseteq A_i \subseteq U_i$ tal que $\mu(U_i\setminus F_i)<\varepsilon.2^{-i}$, $U_i$ es abierto, $F_i$$F_\sigma$. Deje $U:=\bigcup_{i=1}^\infty U_i$$F:=\bigcup_{i=1}^\infty F_i$. A continuación, $U$ está abierto, $F$ $F_\sigma$ y
$$U\setminus F= (\bigcup_{i=1}^\infty U_i) \setminus (\bigcup_{i=1}^\infty F_i) \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty (U_i\setminus F_i),$$
por lo tanto $\mu(U\setminus F)<\varepsilon$. También tenemos
$$F=\bigcup_{i=1}^\infty F_i \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty A_i \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty U_i=U,$$
lo que implica $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in \mathcal S$.
