Inversa de abrir afín subscheme es afín

Question

Esto parece muy simple, pero es eludir mí.

Supongamos $f:X\rightarrow Y$ es una de morfismos de afín esquemas. Deje $V$ libre afín subscheme de $Y$. ¿Por qué es $f^{-1}(V)$ afín?

He notado que $V$ es cuasi-compacto y lo escribió como una unión finita de los principales bloques abiertos. Porque los pullbacks de los principales bloques abiertos son los principales bloques abiertos, podemos escribir $f^{-1}(V)$ como la unión de estos conjuntos. Pero no estoy seguro de cómo mostrar esta unión es afín. No creo que este es el camino correcto a seguir, debido a que estas uniones no son afines en general.

Estoy particularmente perplejo porque este se produce como un ejercicio en el capítulo sobre separadas morfismos y cambio de base en Liu. Por supuesto, todos afines a los esquemas separados, pero no veo la relevancia de que aquí.

Answer 1

El lema que recuerdo es que, "abrir las inmersiones son estables bajo cambio de base". Supongamos que usted tiene un diagrama de \[ \begin{matrix} & & X' \\ & & \downarrow {\scriptstyle f} \\ U & \xrightarrow{i} & X \end{de la matriz} \] y $i$ es un abierto de inmersión, en cuyo caso podría identificar a $U$ con un subconjunto de a $X$. El fibrado de producto existe y una realización de la misma es la de abrir subscheme $f^{-1}(U)$$X'$. Para mostrar esto que usted acaba de comprobar que tiene la característica universal. [Usted no necesita saber que fibrado existen productos en general para hacer esto.]

En la configuración del problema $X, X'$, e $U$ son afines, por lo que tiene otra realización de $U \times_X X'$ como el espectro de un anillo. Por lo tanto, hay un isomorfismo entre ella y $f^{-1}(U)$.

Answer 2

No creo que esto no es trivial, por cualquier medio. Es una consecuencia del siguiente resultado:

Si $X$ es un esquema de con $f_1,\ldots,f_n\in\mathscr{O}_X(X)$ que generan la unidad ideal y cada una de las $X_{f_i}$ es afín, a continuación, $X$ es afín.

Aquí, por un esquema de $X$ y una sección global $f\in\mathscr{O}_X(X)$, $X_f=\{x\in X:f_x\notin\mathfrak{m}_x\}$ es el conjunto abierto donde $f$ `no se desvanecen." Si $X=\mathrm{Spec}(B)$ es un afín esquema, $X_f=D(f)$ es el estándar abierto asociado a $f$.

En primer lugar voy a asumir el resultado y explicar por qué implica el resultado que usted está interesado en. Decir $X=\mathrm{Spec}(B)$$Y=\mathrm{Spec}(A)$, y deje $\varphi:X\rightarrow Y$ ser el de morfismos correspondiente al anillo mapa de $\varphi^\sharp:A\rightarrow B$. Deje $V$ ser afín a abrir de $\mathrm{Spec}(A)$. Escribir $V=\bigcup_{i=1}^n D(f_i)$$f_i\in A$. A continuación, $\varphi^{-1}(V)=\bigcup_{i=1}^n \varphi^{-1}(D(f_i))=\bigcup_{i=1}^n D(\varphi^\sharp(f_i))$ es un afín abra la cubierta de $\varphi^{-1}(V)$. El mundial de secciones $f_i\vert_V\in\mathscr{O}_Y(V)$ generar la unidad ideal (porque $V$$D(f_i)=D(f_i\vert_V)$), por lo que sus imágenes bajo $\varphi^\sharp$ generar la unidad ideal en $\mathscr{O}_X(\varphi^{-1}(V))$. Desde $D(\varphi^\sharp(f_i))=\varphi^{-1}(V)_{\varphi^\sharp(f_i)\vert_{\varphi^{-1}(V)}}$ es afín para cada una de las $i$, el resultado anterior implica que $\varphi^{-1}(V)$ es afín.

Ahora voy a dibujar la prueba del resultado. No hay una única morfismos $\varphi:X\rightarrow\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_X(X))$, lo que induce la identidad global de las secciones (para cualquier esquema de $X$, e incluso cualquier localmente anillado de espacio). Este morfismos es un isomorfismo si y sólo si $X$ es un esquema afín. La inversa de la imagen de $D(f)$ cualquier $f\in\mathscr{O}_X(X)$ bajo este morfismos es $X_f\subseteq X$. La hipótesis de $X$ implica que es cuasi-compacto y separados, es decir, está cubierto por un número finito afín abre (la $X_{f_i}$) cuyas intersecciones son también afín ($X_{f_i}\cap X_{f_j}=X_{f_if_j}$ es un estándar abierto de cada uno de $X_{f_i}$, $X_{f_j}$). Esto implica (Ejercicio 2.16 en Hartshorne, creo que también demostró en Liu) que el natural mapa de $\mathscr{O}_X(X)_{f_i}\rightarrow\mathscr{O}_X(X_{f_i})$ es un isomorfismo de anillos. Ahora el supuesto de que $X_{f_i}$ es afín implica que la restricción de la natural mapa de $\varphi$ $X_{f_i}$induce un isomorfismo $X_{f_i}\cong D(f_i)$. Esto es porque el mapa mundial de las secciones de los morfismos $X_{f_i}\rightarrow D(f_i)$ es, por la construcción del mapa de $\varphi$ natural, de las map $\mathscr{O}_{\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_X(X))}(D(f_i))=\mathscr{O}_X(X)_{f_i}\rightarrow\mathscr{O}_X(X_{f_i})$, lo que he dicho es un isomorfismo, y una de morfismos de afín a los esquemas que induce un isomorfismo en el global de las secciones es un isomorfismo. Puesto que el $D(f_i)$ cubierta $\mathrm{Spec}(\mathscr{O}_X(X))$, como se deduce de la hipótesis de que el $f_i$ generar la unidad ideal, esto implica que $\varphi$ es un isomorfismo, por lo $X$ es afín.

EDIT: Jeff Tolliver comentario demuestra que mi argumento es demasiado para esta declaración en particular; sin embargo, mi argumento puede ser utilizado para mostrar que para un morfismos de esquemas $f:X\rightarrow Y$, si hay un afín abra la cubierta $Y=\bigcup_i V_i$ tal que $f^{-1}(V_i)$ es afín para todos los $i$, $f^{-1}(V)$ es afín para cualquier afín a abrir$V$$Y$.