Si $f\in C[0,1)$ , $\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt =\infty$ ¿se puede construir $g\in C[0,1)$ así que $\int_{0}^{1}g^{2}dt < \infty$ , $\int fgdt = \infty$ ?

Question

Si un verdadero $f\in C[0,1)$ satisface $\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt =\infty$ ¿se puede construir explícitamente $g\in C[0,1)$ tal que $\int_{0}^{1}g^{2}dt < \infty$ y $\int_0^1 fgdt = \infty$ ?

No debe debe existe tal función $g\in L^{2}(0,1)$ debido al principio de acotación uniforme del Análisis Funcional. Esto viene de suponer que no existe tal $g \in L^{2}[0,1]$ y considerando la familia de funcionales lineales acotadas $\Phi_{x}(g)=\int_{0}^{x}fgdt$ en $L^{2}[0,1]$ que satisfacen $\sup_{x \in (0,1)}|\Phi_{x}(g)| < \infty$ para cada $g \in L^{2}[0,1]$ . La conclusión es que $\|\Phi_{x}\|=\int_{0}^{x}|f|^{2}dt$ está limitada en $x$ en contra de lo supuesto.

Sin embargo, en el caso de que $f$ es continua en $[0,1)$ me parece que debe haber una manera de construir un continuo $g$ en $[0,1)$ pero no lo veo. Siéntase libre de asumir $f$ es continuamente diferenciable en $[0,1)$ si ayuda. Esto no es un problema de tarea ... Tengo curiosidad por saber si hay una construcción en circunstancias razonables.

Answer 1

Ponga $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)^2dt$ y $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1+F(x)}$ . Claramente $g$ es continua en $[0,1)$ . Ahora usted tiene $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)^2$ Por lo tanto $\displaystyle g(x)^2=\frac{F^{\prime}(x)}{(1+F(x))^2}$ y $\displaystyle f(x)g(x)=\frac{F^{\prime}(x)}{1+F(x)}$ . Ahora es fácil de terminar.