Estrategia de robo de argumento en la generalización de juego posicional?

Question

Supongamos que tenemos un conjunto de $\mathcal{F}$ y una familia, $\mathcal{W}$, de no vacía de subconjuntos de a $\mathcal{F}$.

Alice y Bob van a jugar un juego con este tipo de datos. El juego sigue con Alice y Bob alternando la selección de un elemento de $\mathcal{F}$ que no ha sido recogido antes, hasta que uno de ellos gana o no hay más reclamada elementos. Un jugador gana y el juego termina si el conjunto de elementos de la (s)ha afirmado en $\mathcal{W}$. Si los elementos de ejecución sin el jugador el logro de esta condición, el juego es un empate.

Esta es una generalización de lo que Wikipedia llamadas de un juego posicional. Para recuperar la Wikipedia la definición que requieren tha que si $X\in \mathcal{W}$$X\subset Y$$Y \in \mathcal{W}$. En un juego posicional puede utilizar el clásico de la estrategia robar argumento para demostrar que Bob no puede tener una estrategia ganadora.

El argumento no trabajo para mi clase de juegos (ya que después de haber hecho un extra de movimiento puede lastimar a un jugador), sin embargo, intuitivamente siento que Bob no debe tener una estrategia ganadora. Alguien puede probar esto?

Actualización: puedes suponer $\mathcal{F}$ es un conjunto finito.

Answer 1

Aquí está un ejemplo de un juego en el que el segundo jugador (B) tiene una estrategia ganadora. Es más cómodo para describir el uso de multisets, esto debería conducir a ninguna confusión. Nuestra base de conjunto ha $3\times a_i$$6\times b_i$$i=0,1,2$, con lo que un total de $27$ elementos. Los conjuntos ganadores son (con índices de mod $3$) los siguientes.

( $3\times a_i);\ (3\times a_i,\ a_{i-1});\ (2\times a_i,\ 3\times b_i);\ (2\times a_i,\ 3\times b_i,\ a_{i-1})\ $ $i=0,1,2$.

Si el primer jugador (A) escoge $a_i$ o $b_i$ en su primer movimiento, B respuestas mediante la selección de $a_{i+1}$. Si después de Una elige otra $a_i$, entonces B también recoge una $a_i$. De lo contrario, B primero elige otra $a_{i+1}$ forzando a recoger los últimos $a_{i+1}$, de esta manera asegurarse de que no puede ganar. Ahora puede elegir cómodamente $3$ $b_{i+1}$'s y ganar.