Grupo con exactamente 2 elementos de orden 10.

Question

¿Existe esto? No creo que exista. Para cualquier grupo cíclico la función totiente de 10 es 4, así que hay 4 de ellos. Pero también si un elemento es de orden 10, digamos $a$ entonces $a^3$ , $a^7$ también es de orden 10 pero son tres. Ahora entiendo que lo que acabo de hacer es principalmente para grupos cíclicos, pero ¿puedo aplicar esa idea a grupos no cíclicos como diedros o grupos simétricos?

Answer 1

¿puedo aplicar esta idea a grupos no cíclicos como los diedros o los grupos simétricos?

Sí. Si tienes un elemento de orden 10 en cualquier grupo, se genera un subgrupo de orden 10, que es cíclico por definición. Como este subgrupo tiene cuatro generadores, cada uno de ellos es un elemento de orden 10 en el subgrupo, y también es de orden 10 en el grupo original.

Answer 2

Si $x$ es un elemento de orden $10$ entonces también $x^3, x^7, x^9$ son todos elementos diferentes de orden 10. Por lo tanto, es imposible tener exactamente dos de ellos.

En general, si $n$ es un número natural y $G$ es un grupo con exactamente $2$ elementos de orden $n$ entonces $n=3, 4$ o $6$ . Esto se deduce de la resolución de la ecuación $\varphi(n)=2$ , donde $\varphi$ es la función totiente de Euler. Cada uno de los casos se puede realizar: tomar $G \cong D_n$ con $n=3,4$ o $6$ .

Tenga en cuenta que $D_3\cong S_3$ y $D_6\cong S_3 \times C_2$ .