La derivada de una función es impar demostrar que la función es par.

Question

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $f'(x)$ existe $\forall x.$

Y $f'(-x)=-f'(x)$

Me gustaría mostrar $f(-x)=f(x)$

En otras palabras, una función con derivada impar es par.

Si pudiera aplicar el teorema fundamental del cálculo

$\int_{-x}^{x}f'(t)dt = f(x)-f(-x)$ pero como el integrando es impar tenemos $f(x)-f(-x)=0 \Rightarrow f(x)=f(-x)$

pero desgraciadamente no sé si f' es integrable.

Answer 1

Dejemos que $g(x)=f(-x)$ . Entonces $g'(x)=-f'(-x)=f'(x)$ .

Desde $g(0)=f(0)$ y $g'=f'$ se deduce del teorema del valor medio que $g=f$ .

Answer 2

• Definir funciones $f_0(x)=(f(x)+f(-x))/2$ y $f_1(x)=(f(x)-f(-x))/2$ . Entonces $f_0$ y $f_1$ también son diferenciables, y $f_0$ es par y $f_1$ es impar.

• Demuestre que la derivada de una función impar es par, y la de una función par es impar.

• De la igualdad $f'=f_0'+f_1'$ concluir que $f_1$ es constante y, por tanto, cero.