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La derivada de una función es impar demostrar que la función es par.

f:RR es tal que f(x) existe x.

Y f(x)=f(x)

Me gustaría mostrar f(x)=f(x)

En otras palabras, una función con derivada impar es par.

Si pudiera aplicar el teorema fundamental del cálculo

xxf(t)dt=f(x)f(x) pero como el integrando es impar tenemos f(x)f(x)=0f(x)=f(x)

pero desgraciadamente no sé si f' es integrable.

12voto

tooshel Puntos 475

Dejemos que g(x)=f(x) . Entonces g(x)=f(x)=f(x) .

Desde g(0)=f(0) y g=f se deduce del teorema del valor medio que g=f .

7voto

Xetius Puntos 10445
  • Definir funciones f0(x)=(f(x)+f(x))/2 y f1(x)=(f(x)f(x))/2 . Entonces f0 y f1 también son diferenciables, y f0 es par y f1 es impar.

  • Demuestre que la derivada de una función impar es par, y la de una función par es impar.

  • De la igualdad f=f0+f1 concluir que f1 es constante y, por tanto, cero.

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