La moderna Investigación en Topología Algebraica

Question

¿Cuáles son algunas de las direcciones principales y tendencias en la modernidad (digamos dentro de los últimos ~10 años) topología algebraica? ¿Cuáles son algunos de los principales problemas abiertos o los últimos resultados?

En una dirección más específica, ¿en qué medida moderna de la geometría algebraica interactuar con la moderna topología algebraica? Cómo de fácil sería un estudiante de posgrado o postdoctorado de trabajo en la geometría algebraica ser capaz de trabajar en un problema de topología algebraica?

Nota: estoy buscando respuestas para específicamente topología algebraica como contraposición a decir de pocas dimensiones geométricas de la topología (que sin duda utiliza métodos algebraicos fuertemente).

Gracias!

Answer 1

Uno de los más importantes de los últimos resultados es la solución de la Kervaire invariantes un problema por la Colina, Hopkins, y Ravenel.

Aquí es su papel.

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La cromática punto de vista, que los estudios estable homotopy teoría a través de sus relaciones con los módulos de de grupos formales, y temas relacionados, tales como topológica de las formas modulares, el uso de una cantidad considerable de (bastante abstracta) de la geometría algebraica. Y Lurie trabajo en derivados de la geometría algebraica fue motivado en parte por el establecimiento de bases adecuadas para la tarea de la definición de equivariant formas de TMF.

También se encuentran relaciones entre la más clásica de la geometría algebraica y la topología algebraica, por ejemplo, como en Hirzebruch del libro y su prueba de su versión de la de Riemann--Roch teorema. Este tipo de conexiones no parecen ser tan en boga ahora mismo (aunque no soy un experto en topología algebraica, por cualquier medio, de modo que puede estar equivocado en esto). Sin embargo, un investigador contemporáneo cuya obra se extiende a ambos lados de los dos campos, y que tiene un sabor que me recuerda a la de Hirzebruch del trabajo, es Burt Totaro; es posible que desee ver en algunos de sus artículos.