¿El operador de turno en $\ell^2(\mathbb{Z})$ ¿tiene un logaritmo?

Question

Consideremos el espacio de Hilbert $\ell^2(\mathbb{Z})$ es decir, el espacio de todas las secuencias $\ldots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\ldots$ de números complejos tal que $\sum_n |a_n|^2 < \infty$ con el producto interno habitual. Sea $S$ sea el operador de desplazamiento: $$ (S a)_n = a_{n-1}. $$ Si existe un operador lineal $A:\ell^2\to\ell^2$ tal que $S=e^A$ ? Realmente dudo que lo haya, pero no estoy seguro.

Contexto: Estoy pensando en el operador de momento como generador del operador de traslación en la mecánica cuántica. Se podría pensar en $\ell^2(\mathbb{Z})$ como una versión discreta de una partícula en la línea.

Answer 1

$l^{2}(\mathbb{Z})$ se convierte en $L^{2}[-\pi,\pi]$ bajo el mapa unitario de Fourier $U : l^{2}(\mathbb{Z})\rightarrow L^{2}[-\pi,\pi]$ dado por $$ \begin{align} U\{ a_{n}\}_{n=-\infty}^{\infty} & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}e^{in\theta},\\ U^{-1}f & = \{ (f,e^{in\theta})_{L^{2}[-\pi,\pi]}\}_{n=-\infty}^{\infty}. \end{align} $$ (El producto interno $(\cdot,\cdot)_{L^{2}[-\pi,\pi]}$ en $L^{2}[0,2\pi]$ se normaliza de manera que $\|1\|_{L^{2}[-\pi,\pi]}=1$ .) El cambio $S$ en $l^{2}(\mathbb{Z})$ se convierte en la multiplicación por $e^{i\theta}$ en $L^{2}[-\pi,\pi]$ . Es decir, $S=U^{-1}EU$ , donde $$ (Ef)(\theta)=e^{i\theta}f(\theta). $$

El operador 'log' $L : L^{2}[-\pi,\pi]\rightarrow L^{2}[-\pi,\pi]$ definido por $(Lf)(\theta)=i\theta f(\theta)$ es un operador lineal normal acotado tal que $e^{L}=E=USU^{-1}$ . Así que $$ S=U^{-1}e^{L}U=e^{U^{-1}LU}=e^{A},\;\;\; A = U^{-1}LU. $$ Comprobación de cordura: El espectro de $L$ es $\{ i\theta : -\pi \le \theta \le \pi \}$ para que el espectro de $e^{L}$ es todo el círculo unitario, como era de esperar. Es posible determinar la forma explícita de $A$ en $L^{2}(\mathbb{Z})$ de $$ \{ a_{n}\}_{n=-\infty}^{\infty} \mapsto \sum_{n}a_{n}e^{in\theta} \mapsto \left\{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} i\theta\sum_{n}a_{n}e^{in\theta}e^{-im\theta}\,d\theta\right\}_{m=-\infty}^{\infty} $$

Answer 2

Creo que la respuesta es sí, por el teorema espectral, pero $A$ no admite una descripción fácil. Ya que $S$ es un operador normal que admite una representación como $S = \int_{S^1} \lambda\,d\pi(\lambda)$ para alguna medida con valor de proyección $\pi$ . Uno puede ahora simplemente tomar $L:S^1\to i\mathbf{R}$ para ser cualquier rama acotada de Borel del logaritmo y poner $A = \int_{S^1} L(\lambda)\,d\pi(\lambda).$

Lo anterior es un poco abstracto y técnico, y es útil, al menos para mí, pensar en un análogo de dimensión finita. Sea $S:\ell^2(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})\to\ell^2(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ sea el operador definido por $(Sa)_n = a_{n+1\bmod{N}}$ . Entonces $S$ tiene un vector propio $v_\zeta = (1,\zeta,\dots,\zeta^{N-1})$ con valor propio $\zeta$ para cada $N$ raíz de la unidad $\zeta$ . Dado que los vectores $v_\zeta$ son una base para $\ell^2(\mathbf{Z}/N\mathbf{Z})$ hay un operador $A$ asignando a cada uno de ellos $v_\zeta$ a $L(\zeta)v_\zeta$ y esto $A$ satisface $e^A = S$ .