Homeomorphism de la Disco

Question

Estoy trabajando a través de Massey el "Curso Básico". Uno de los problemas es demostrar que un homeomorphism del disco cerrado mapas de la frontera para la frontera y el interior en el interior. ¿Cómo se podía demostrar esto? Me parece que no puede obtener este problema.

Answer 1

Esta respuesta se extiende sobre Chris Eagles comentario:

Deje $D^n \subset \mathbb R^n$ el valor del $n$-dimensiones cerrada de la unidad de disco, que es $D^n = \{ x \in \mathbb R^n \;|\; |x|\leq 1 \}$, con límite de $\partial D^n = S^{n-1} = \{ x \in \mathbb R^n \;|\; |x| = 1 \}$ $(n-1)$- dimensiones de la esfera.

Deje $f: D^n \to D^n$ ser un homeomorphism que los mapas de $x \in \partial D^n$$f(x) \in D^n \setminus \partial D^n$. Obviamente $f$ induce un homeomorphism $\tilde{f}: D^n \setminus \{ x\} \to D^n \setminus \{ f(x) \}$.

Desde $x \in \partial D^n$, $D^n \setminus \{ x\}$ es convexo y por lo tanto homotopy equivalente a un punto. Por otro lado, podemos construir un homotopy equivalencia $D^n \setminus \{ f(x) \} \simeq \partial D^n = S^{n-1}$ desde $D^n$ es compacto y radialmente convexo wrt. un barrio de $f(x)$. Así llegamos $\{pt\} \simeq D^n \setminus \{ x\} \cong D^n \setminus \{ f(x)\} \simeq S^{n-1}$, lo cual es una contradicción por su técnica de elección. Por ejemplo,$\pi_{n-1}(\{pt\}) \not \cong \pi_{n-1}(S^{n-1})$.

Answer 2

Todavía no se puede comentar, así que voy a añadir esto a Chris del consejo útil: usted debe ser capaz de calcular el grupo fundamental de la cerrada de la unidad de disco menos un punto límite.

Answer 3

Un homeomorphism $\phi:D \to D$ mapas abiertos a los conjuntos de bloques abiertos. Elegir un punto de $P$ en el interior del disco y un disco de $D(P,\delta)$ que se encuentra en el interior del disco $D$. Si $P$ se asignan en el límite de $D$ $\phi(P)$ no estaría en el interior de $\phi(D(P,\delta))$; contradicción con el hecho de que $\phi(P) \in \phi(D(P,\delta))$ $\phi(D(P,\delta))$ está abierto.

Esto significa que los puntos del interior se asignan al interior de la disco.

Escoja ahora $Q$ sobre el límite de $D$. Si $\phi(Q)$ está en el interior de $D$, luego por un argumento similar con el de arriba, ya que $\phi^{-1}$ es también un homeomorphism de ello se sigue que $\phi^{-1}(\phi(Q))=Q$ está en el interior de $D$. Contradicción.

Por lo tanto, $\phi$ mapas de la frontera del disco sobre el límite de la disco.

[editar] Como se ha mencionado en los comentarios, he utilizado la norma euclidiana de la topología, no la inducida, y que podría ser un problema. Creo que la mejor solución sigue siendo la mencionada en el primer comentario:

Que si el homeomorphism $\phi : D\to D$ mapas de $P$ $Q$ $D\setminus\{P\}$ $D\setminus \{Q\}$son homeomórficos. Si $P$ está en el límite y $Q$ está en el interior (o al revés) se obtienen dos dominios que no son homeomórficos: uno se conecta simplemente, uno no lo es (que tiene un "agujero")