Requisito para la Geometría Riemanniana de Petersen

Question

Un profesor me dijo hace poco que si puedo cubrir los capítulos sobre curvatura del libro de geometría riemanniana de Petersen (enlazado aquí ) en los próximos meses, entonces podré trabajar en algo con él. Sin embargo, antes de planear la lectura de este libro necesito recoger algo de teoría de los colectores. Pienso leer el libro de Lee Libro Smooth Manifolds .

Asumiendo que no conozco nada de lo que trata el libro de Lee y que quiero leerlo sólo para poder leer el de Petersen puede alguien recomendarme qué capítulos puedo saltarme. Sé que será beneficioso leer todo el libro, pero voy a cubrir todo el libro en un curso el próximo año y sólo quiero ser capaz de leer los rudimentos de la geometría de Riemann antes de entonces. O si alguien puede sugerir un libro más adecuado para este objetivo también se agradecería. Gracias.

Answer 1

El libro de Petersen es un reto, pero muy claro y completo. Si quieres aprender rápidamente los requisitos previos -como estoy seguro de que hacen todos los estudiantes de posgrado que quieren empezar a investigar-, los libros de John Lee no son realmente la mejor opción para ti. Son textos maravillosamente lúcidos y completos, pero su gran extensión significa que son realmente mejores para el autoestudio cuando se tienen varios meses para invertir. Si necesitas una introducción más rápida, el libro de Loring Tu Introducción a los colectores es una mejor opción. Por desgracia, evita la topología básica, por lo que tendrá que complementarla con un texto de topología. El libro de John McCleary Primer curso de topología es corto, está bellamente escrito y probablemente tiene todo lo que necesitas. Por último, sería negligente si no llamara la atención sobre las propias notas de Petersen sobre la teoría básica de los colectores, que ha puesto a disposición en su sitio web: http://www.math.ucla.edu/~petersen/manifolds.pdf Son más sofisticados que Tu y serán una maravillosa lectura colateral.

Con eso deberías empezar y estar listo para tu asesor para el verano. Buena suerte.

Answer 2

Me gustó mucho "Geometría Riemanniana" de Manfredo do Carmo - http://www.amazon.com/dp/0817634908/ref=rdr_ext_sb_ti_sims_1 (se puede encontrar una copia en PDF buscando en Google "Riemannian geometry do Carmo" y mirando los primeros resultados de la búsqueda)

En el capítulo 0 se discuten los preliminares de la teoría de las variedades lisas y los capítulos siguientes comienzan inmediatamente con la geometría de Riemann (el capítulo 0 sólo tiene unas 30 páginas y todo el libro tiene unas 300 páginas). Por supuesto, hay que advertir que el capítulo 0 es bastante conciso y creo que es mejor tener cierta familiaridad con las variedades lisas de antemano. Sin embargo, con la suficiente madurez matemática, debería ser posible aprender la geometría riemanniana de do Carmo sin ningún antecedente en la teoría de las variedades lisas, empezando por el capítulo 0.

Además, otra alternativa es "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" de William Boothby - http://www.amazon.com/Introduction-Differentiable-Manifolds-Riemannian-Mathematics/dp/0121160513

Me ha gustado mucho este libro: cubre tanto la teoría de las variedades lisas (más o menos al nivel de Lee, pero en el espacio de 300, en lugar de 500 páginas) como la geometría riemanniana en dos capítulos. La profundidad de la cobertura de la geometría riemanniana no es muy grande, pero la cobertura de la teoría de las variedades lisas es bastante eficiente en comparación con Lee. Podrías leer simplemente los capítulos 1 a 5 (unas 200 páginas con una fuente relativamente grande) y saltarte el capítulo 6 (los capítulos 7 y 8 tratan sobre la geometría riemanniana introductoria, que puedes leer si quieres, o pasar a un libro de texto más especializado en la materia, como Peterson o do Carmo).

Eche un vistazo y dígame qué le parece.

Answer 3

Primero un descargo de responsabilidad: nunca he leído el libro de Petersen, así que responderé basándome en haber hojeado el contenido y los primeros capítulos y asumiendo que no es muy diferente de otros libros del mismo nivel. Por lo tanto, tomen esto con un grano de sal.

Me gusta mucho el libro Smooth Manifolds de Lee, pero como quieres una introducción breve para poder estudiar la geometría riemmaniana, y vas a hacer un curso de variedades, te sugiero encarecidamente que consideres otro libro. Como el de Lee es muy completo, tendrías que leer los primeros 16 capítulos (posiblemente omitiendo los cp. 7 y 13) para que cubras las estructuras básicas, los haces y las formas diferenciales. Son más de 300 páginas.

Secundo a Amitesh Datta en el libro de Boothby, que es genial. Si quieres una introducción aún más corta creo que es difícil hacerlo mejor que "Geometry of Manifolds" de Richard Bishop y Richard Crittenden: http://www.amazon.com/Geometry-Manifolds-AMS-Chelsea-Publishing/dp/0821829238

Los primeros 6 capítulos (~100 páginas) te dan todo lo que necesitas para empezar a hacer geometría riemmaniana, y si te gusta el libro puedes seguir con él también. Aunque no lo recomiendo como punto de partida, cuando estudié por primera vez las variedades me resultó muy útil tener cerca "Foundations of Differential geometry vol. 1" de Kobayashi y Nomizu: http://www.amazon.com/Foundations-Differential-Geometry-Classics-Library/dp/0471157333 . Los primeros 4 capítulos (~150 páginas) tienen lo que necesitas, así que quizás le des una oportunidad cuando algo se te escape.