Si $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0$ , puede $\sum_0^\infty a_n$ ser racional?

Question

Si una secuencia no nula de racionales

$$a_0, a_1 \dots a_n$$

"decae rápidamente" en el sentido de que $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}/a_n = 0$ ¿puede la serie converger a un número racional? Es decir, ¿puede $\sum_0^\infty a_n$ ser racional?

La motivación es la idea de que $e$ es irracional en algún sentido porque su serie $\sum \frac{1}{n!}$ crece demasiado lentamente. Me preguntaba si había una forma de precisar esto.

(Esto es una reafirmación de este pregunta, con agradecimiento a Barry Cipra)

Answer 1

¿Qué tal algo como $.1, .011, .000111, .0000001111, \dots$ ? Está claro que la suma es $.11111... = 1/9$ y el $n$ es del orden de $10^{-n}$ veces el $(n-1)$ a término.

Answer 2

Segundo intento de solución:

Sí, por ejemplo:

\begin {eqnarray} a_{n} = \frac {1}{(2)_{n}} - \frac {1}{n!} \end {eqnarray} donde el símbolo de Pochhammer es $(\beta)_{n} = \beta(\beta+1) \cdots (\beta+n-1)$ . Entonces,

\begin {eqnarray} \lim_ {n \rightarrow \infty } \frac {a_{n+1}}{a_{n}}=0 \text { y } \sum_ {n=0}^{ \infty } a_{n} = -1. \end {eqnarray}