Formas de demostrar la fórmula de Euler para $\zeta(2n)$

Question

Recientemente, por interés, intenté demostrar la fórmula de Euler $\zeta{(2n)}=(-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}B_{2n}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . He adaptado la prueba original de Euler para $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ :

Tenemos las conocidas fórmulas $\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$ y $\sin(x)=x\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)$ . La fórmula del producto también puede transformarse en una expansión en serie, pero para mantenerlo ordenado, primero hay que hacer algunas definiciones:

Para la secuencia real $\left(a_i\right)_{i\in\mathbb N}$ con $\sum a_i$ convergente, definir $$ A_n:=\sum_{i=1}^{\infty} a_i^n $$ $$ \alpha_n:=\sum_{(x_1,\dots,x_n)\in M_n}\prod_{r=1}^{n} a_{x_r} $$ Donde $M_n:=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb N\space|\space x_1<\dots<x_n\}$ . Ahora escribimos $c_i=-\frac{1}{i^2\pi^2}$ . Cuando expandimos el producto, obtenemos sólo exponentes Impares de $x$ y el coeficiente de $x^{2k+1}$ para $k1$ es $\gamma_k$ . Por comparación de los coeficientes, obtenemos $\gamma_k=\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}$ . Ahora, por medio de un telescopio, se puede demostrar algebraicamente que para toda secuencia $\left(a_i\right)_{i\in\mathbb N}$ con $\sum a_i$ convergente que tenemos: $$\sum_{i=1}^{n}{(-1)^{n-i}\alpha_{n+1-i}\space A_{i}}=A_{n+1}+(-1)^{n+1}(n+1)\alpha_{n+1}$$ Para todos $n\in\mathbb N_0$ . Desde $C_n=\sum_{i=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{i^2\pi^2}\right)^n=\frac{(-1)^n}{\pi^{2n}}\zeta{(2n)}$ que tenemos: $$ \sum_{i=1}^{n}{(-1)^{n-i}\gamma_{n+1-i}\space C_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(-1)^{n-i}\frac{(-1)^{n+1-i}}{(2n-2i+3)!}\frac{(-1)^i}{\pi^{2i}}\zeta{(2i)}}=\sum_{i=1}^{n}{(-1)^{i-1}\frac{\zeta{(2i)}}{(2n-2i+3)!\pi^{2i}}}=\frac{(-1)^{n+1}}{\pi^{2n+2}}\zeta{(2n+2)}+(-1)^{n+1}(n+1)\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+3)!}=\frac{(-1)^{n+1}}{\pi^{2n+2}}\zeta{(2n+2)}+\frac{(n+1)}{(2n+3)!} \iff \sum_{i=1}^{n+1}{(-1)^{i-1}\frac{\zeta{(2i)}}{(2n-2i+3)!\pi^{2i}}}=\frac{(n+1)}{(2n+3)!} $$ Para todos $n\in\mathbb N_0$ . Ahora estamos preparados para demostrar la fórmula $\zeta{(2n)}=(-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}B_{2n}$ con la inducción. Con la ecuación anterior podemos comprobar fácilmente que es cierta para $n=1$ por lo que asumimos que se mantiene para todos los $1in$ . La afirmación $\zeta{(2n+2)}=(-1)^{n}\frac{(2\pi)^{2n+2}}{2(2n+2)!}B_{2n+2}$ es entonces equivalente a: $$ \sum_{i=1}^{n+1}{(-1)^{i-1}\frac{(-1)^{i-1}\frac{(2\pi)^{2i}}{2(2i)!}B_{2i}}{(2n-2i+3)!\pi^{2i}}}=\frac{(n+1)}{(2n+3)!}\iff \sum_{i=1}^{n+1}{\binom{2n+3}{2i}2^{2i-1}B_{2i}}=n+1\iff \sum_{i=0}^{2n+2} \binom{2n+3}{i}2^iB_i=0 $$ Esta identidad se puede demostrar comparando los coeficientes de la ecuación $\frac{e^x-1}{x}\frac{2x}{e^{2x}-1}=\frac{2}{e^x+1}$ .

¿Es válida esta prueba? No obstante, si lo es, no es muy elegante. ¿Hay formas más rápidas de demostrarlo?

Answer 1

Suelo probarlo de la siguiente manera. Ya que: $$ \frac{t}{e^t-1} = \sum_{n\geq 0}\frac{B_n}{n!}t^n \tag{1}$$ se deduce que: $$ \coth z-\frac{1}{z} = \sum_{n\geq 1}\frac{4^n\,B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}.\tag{2}$$ Por otro lado, tomando la derivada logarítmica del producto de Weierstrass para el $\sinh $ se deduce que: $$\begin{eqnarray*} \coth z -\frac{1}{z} &=& \sum_{n\geq 1}\frac{d}{dz}\log\left(1+\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)\\&=&\sum_{n\geq 1}\frac{2z}{\pi^2 n^2+z^2}\\&=&\sum_{n\geq 1}\sum_{m\geq 1}\frac{2(-1)^{m-1}z^{2m-1}}{\pi^{2m}n^{2m}} \\&=&\sum_{m\geq 1}\frac{2\,\zeta(2m)}{\pi^{2m}}(-1)^{m-1}z^{2m-1}\tag{3}\end{eqnarray*}$$ y tenemos la afirmación comparando los coeficientes en los RHS de $(2)$ y $(3)$ .

Las identidades intermedias suelen ser también muy útiles.

Answer 2

Para calcular los valores $\zeta(2n),$ para $n\in\mathbb{N}^+,$ utilizar la ecuación funcional de Riemann para la función Zeta y la fórmula del seno del doble ángulo para obtener

\begin{equation}\tag{1} \zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}\zeta(1-2n)}{2\Gamma(2n)\cos(n\pi)}=\frac{(-1)^n(2\pi)^{2n}}{2(2n-1)!}\zeta(1-2n). \end{equation}

Utilizando el hecho de que, para $n\in\mathbb{N},$ \begin{equation}\tag{2} B_n=(-1)^{n+1}n\zeta(1-n). \end{equation}

Podemos utilizar (2) para reescribir (1) como \begin{equation}\tag{3} \zeta(2n)=\frac{(-1)^n(2\pi)^{2n}}{2(2n-1)!}\zeta(1-2n)=\frac{(-1)^{n+1}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}B_{2n}. \end{equation}