¿En cuántas dimensiones es isotópica la banda de "Mobius" de giro completo al cilindro?

Question

Hay un pregunta en este sitio sobre las distinciones entre la banda de Mobius de torsión completa y el cilindro, pero me gustaría preguntar algo diferente, así que empiezo una nueva pregunta.

Llamemos $C$ el cilindro estándar incrustado en $\mathbb{R}^3$ y llame a $F$ la banda de Mobius con torsión completa (también conocida como banda de Mobius con dos "medias torsiones", o banda de Mobius con una torsión de 360 grados), también incrustada en $\mathbb{R}^3$ . $C$ y $F$ son topológicamente homeomórficos entre sí, pero no son isotópicos dentro de $\mathbb{R}^3$ . Ahora piensa en $\mathbb{R}^3$ como un subespacio de algún espacio euclidiano de mayor dimensión $\mathbb{R}^n$ donde $n\geq 3$ y pregunte si $C$ y $F$ son isotópicos en $\mathbb{R}^n$ . Obviamente, si $n \geq 6$ entonces $C$ y $F$ son isotópicos. Pero ¿qué pasa con $n = 4$ o $5$ ? ¿Hay alguna posibilidad de que sigan siendo isotópicos, o se puede probar que $n=6$ es el menor número de dimensiones en las que $C$ y $F$ ¿son isotópicos? Se agradece cualquier ayuda o idea. Gracias.

Answer 1

Creo que son isotópicos en $\mathbb R^4$ . Consideremos un círculo incrustado suavemente en $\mathbb R^4$ . Tiene un haz normal con fibra $D^3$ y el límite $S^2\times S^1$ . Dada una banda, como las retorcidas o no retorcidas de la pregunta, se puede pensar en una componente de frontera de la banda como un círculo incrustado en $\mathbb R^4$ mientras que la otra componente del límite se encuentra en el límite del haz normal. Esto da un bucle en $\pi_1(S^2)$ . Tal bucle puede ser homotopado a un punto, ya que $S^2$ es simplemente conectada, y esta homotopía dará una isotopía que preserva la fibra al desenroscar cualquier banda.