$f: \Omega \rightarrow \Omega$ holomorphic, $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$ implica $f(z) = z$

Question

Deje $\Omega$ ser un delimitada conectado abrir subconjunto de $\mathbb{C}$ contiene $0$. Deje $f: \Omega \rightarrow \Omega$ ser holomorphic y $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$. El problema en el que estoy trabajando es mostrar que $f(z) = z$.

Si $\Omega = \mathbb{D}$, luego de esto se sigue del Lema de Schwarz. También sé de una solución (publicado aquí), que consiste en observar el poder de la serie de coeficientes de $f^n := f\circ f \circ f \circ \cdots \circ f$ ($n$ veces) y el uso de las estimaciones de Cauchy, pero hay una forma diferente de hacer este problema que no involucran la toma de la $k$th derivado de la $f^n$?

Answer 1

Una solución que me parece más natural que en las iteraciones de $f$ implica un holomorphic cubriendo mapa de $\phi:\mathbb D\to\Omega$. Un mapa existe para cada dominio $\Omega$ que $\mathbb C\setminus \Omega$ tiene al menos dos puntos. Este es el Teorema de 16.5.1 en Conway libro de Funciones de una variable compleja, vol. II.

Normalizar la cubierta mapa para que $\phi(0)=0$. A continuación, $\phi^{-1}\circ f\circ \phi$ es un holomorphic mapa de disco en sí, que corrige el origen y se ha derivado $1$ no. (Nota: a pesar de $\phi$ no es globalmente invertible, es localmente invertible, por lo tanto, $\phi^{-1}\circ f\circ \phi$ es una analítica de la función, y desde $\mathbb D$ es simplemente conectado, tiene un valor único de holomorphic sucursal en $\mathbb D$.)

Por el lema de Schwarz el mapa de $\phi^{-1}\circ f\circ \phi$ es la identidad, y por lo tanto $f$ es la identidad.

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Palabras clave para la lectura adicional: teorema de uniformización, la métrica hiperbólica.