Una regla general acerca de los documentos técnicos-especialmente aquellos que se encuentran en la Web, es que la fiabilidad de cualquier estadística o matemática definición ofrecida en ellos varía inversamente con el número de la relación de no-estadístico de los sujetos mencionados en el título del artículo. El título de la página en la primera referencia que se ofrecen (en un comentario a la pregunta a) es "De las Finanzas a la Cosmología: La Cúpula de la Estructura a Gran Escala." Con tanto "finanzas" y "cosmología" que aparecen de forma destacada, podemos estar bastante seguros de que esta no es una buena fuente de información acerca de las cúpulas!
Vamos a lugar la vuelta a un estándar y muy accesible de libros de texto, Roger Nelsen es Una introducción a las cúpulas (Segunda Edición, 2006), para las definiciones claves.
... cada cópula es un conjunto de la función de distribución con los márgenes que son uniformes en [la unidad cerrada intervalo de $[0,1]]$.
[En p. 23, en la parte inferior.]
Para algunos la penetración en copulae, se convertirá en el primer teorema en el libro, del Teorema de Sklar:
Deje $H$ ser una distribución conjunta de la función con los márgenes de $F$$G$. Entonces existe una cópula $C$ tal que para todos los $x,y$ en el extendido de los números reales], $$H(x,y) = C(F(x),G(y)).$$
[Se indicó en las páginas 18 y 21.]
Aunque Nelsen no llamarlo como tal, él hace es definir la cópula Gaussiana en un ejemplo:
... si $\Phi$ indica la norma (univariante) normal de la función de distribución de y $N_\rho$ indica el estándar de la distribución normal bivariante de la función (con Pearson el coeficiente de correlación producto momento $\rho$), luego ... $$C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$$
[en p. 23, la ecuación 2.3.6]. A partir de la notación es inmediato que esta $C$, de hecho es la distribución conjunta de $(u,v)$ al $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ es Normal bivariante. Podemos ahora y construir una nueva distribución bivariante tener cualquier deseada (continua) distribuciones marginales $F$ $G$ para que esta $C$ es la cópula, simplemente mediante la sustitución de estas apariciones de $\Phi$$F$$G$: simplemente tomar este particular $C$ en la caracterización de las cúpulas de arriba.
Así que sí, esto se ve muy similares a las fórmulas para una distribución normal bivariante, porque es normal bivariante de las variables transformadas $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$. Debido a estas transformaciones será no lineal cuando $F$ $G$ ya no están (univariante) Normal Cdf sí mismos, el resultado de la distribución no es (en estos casos) normal bivariante.
Ejemplo
Deje $F$ ser la función de distribución para una Beta$(4,2)$ variable y $G$ la función de distribución para una Gamma$(2)$ variable. Mediante la construcción anteriores podemos formar el conjunto de distribución de $H$, con una cópula Gaussiana y marginales $F$$G$. Para representar esta distribución, aquí es un patial trama de su densidad bivariante en $x$ $y$ ejes:
![Plot]()
La falta de simetría hace que, obviamente, no-normal (con y sin márgenes normales), pero que sin embargo tiene una cópula Gaussiana por la construcción. Por lo que vale tiene una fórmula y es feo, también obviamente no es Normal bivariante:
$$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$$
donde $w(x,y)$ está dado por $$\left(\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right){}^2\right)\right.$$
($Q$ es una regularización de la función Gamma y $I_x$ es una regularización de la función Beta.)
