Por qué no es cierto es que $\int_0^{\pi} \sin (x) \; ¿DX = 0$?

Question

Sé que los siguientes no es correcta, pero ¿cuál es el problema. Así que queremos calcular $$ \int_0^{\pi} \sin(x) \; dx $$ Si uno hace una sustitución $u = \sin(x)$, entonces uno tiene $$ \int_{\sin(0) = 0}^{\sin(\pi) = 0} \text{algo}\; du = 0. $$ Sabemos que $\int_a^a f(x) \; dx = 0$ para todas las funciones $x$, así que ¿por qué no en este trabajo para el de arriba?

Me sale que el "algo" "no se puede encontrar" porque $du = \cos(x)dx$. Pero, ¿realmente importa lo que el $du$ es cuando uno es la integración de de $0$ $0$?

Edit: no sé lo que es un "diffeomorphism". Estoy solo en básicos de cálculo.

Answer 1

Esta es una muy buena pregunta y no una que muchos estudiantes se preguntan. Vamos a ver qué pasa cuando hacemos lo que estás sugiriendo. Dejando de $u = \sin x$, obtenemos

$$du = \cos x\,dx = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}\,dx = \pm\sqrt{1-u^2}\,dx.$$

Por lo tanto la integral se convierte en

$$\int \sin x\,dx = \int \frac{\pm u}{\sqrt{1-u^2}}\,du.$$

Aviso que yo no pongáis límites de integración en aquí. Cuando $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, coseno es no negativo, por lo que podemos utilizar el positivo de la raíz. Sin embargo, cuando $x\(\frac{\pi}{2},\pi]$, el coseno es negativo, entonces tenemos que usar el negativo de la raíz. El significado de una integral se divide en dos diferentes:

$$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \int_{u(0)}^{u(\pi/2)} \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du + \int_{u(\pi/2)}^{u(\pi} \frac {u}{\sqrt{1-u^2}}\,du.$$

Tenga en cuenta que $u(0) = 0$, $u(\pi/2) = 1$ y $u(\pi) = 0$, así que conseguir

$$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \int_0^1 \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du - \int_1^0 \frac{u}{\sqrt{1-u^2}},u = 2\int_0^1 \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du.$$

Tenga en cuenta que este es un número positivo. La razón por la que no funciona es exactamente como Baloown es lo que sugiere. Que no es el caso aquí, que es parcialmente reflejada en la aparición de la $\pm$ raíces. Lo que el caso real es que el avance de la dirección para $u$-sustitución siempre funciona (que significa la sustitución de $x = \text{ algo}$) - es al revés caso es donde los problemas de la mentira (la sustitución de $\text{algo } = f(x)$).

Answer 2

\begin{align} u & = \sin x \\ du & = \cos x\,dx \\[8pt] dx & = \frac{du}{\cos x} = \frac{du}{\pm\sqrt{1-\sin^2 x}} = \frac{du}{\pm\sqrt{1-u^2}} = \begin{casos} \dfrac{du}{\sqrt{1-u^2}} & \text{para }0\le x \le \frac \pi 2 \\[10] \dfrac{du}{-\sqrt{1-u^2}} & \text{para } \frac \pi 2 \le x \le \pi \end{casos} \\[15pt] \int_0^\pi \sin x\,dx y = \int_0^{\pi/2} \sin x\,dx + \int_{\pi/2}^\pi \sin x\,dx = \int_0^1 \frac{u\,du}{\sqrt{1-u^2}} + \int_1^0 \frac{u\,du}{-\sqrt{1-u^2}} = \cdots \end{align}

Answer 3

Como se sugiere en las otras respuestas, usted puede utilizar que la sustitución en todo el intervalo $(0,\pi)$ porque $\sin dólares no es bijective allí. Sin embargo, usted puede hacer el cambio de variables después de haber dividido el intervalo en dos piezas, en el que $\sin $ es bijective: $$\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x+\int_{\pi/2}^\pi\pecado x\,\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\mathrm{d}u+\int_1^0\frac{-u}{\sqrt{1-u^2}}\mathrm{d}u\,,$$ después de haber utilizado el hecho de que $\cos x=\sqrt{1-u^2}$ en $(0,\pi/2)$ mientras $\cos x=-\sqrt{1-u^2}$ en $(\pi/2,\pi$.

Answer 4

Como se ha mencionado en los comentarios, un cambio de variables no se necesita ser un $C^1$-diffeomorphism. También no tiene que ser una trozos $C^1$-diffeomorphism. Todo lo que necesita es para los extremos para que coincida débiles suavidad. Por ejemplo: Supongamos que $f$ es continua en $[a,b]$ y $g:[c,d]\[a,b].$ Se asume que $g(c) = a, g(d) = b,$ y $g$ es derivable en $[c,d]$ con $g'$ Riemann integrable en $[c,d].$ Entonces

$$\tag 1 \int_a^b f(x)\,dx = \int_c^d f(g(t))g'(t)\,dt.$$

Prueba: Supongamos que $F(x) = \int_a^x f.$ Entonces $F'=f,$ así $(F\circ g)'(t) = (f\circ g)'(t)g'(t).$ La última función es Riemann integrable en $[c,d],$ por lo que la integral sobre el derecho de los $(1)$ es igual a $(F\circ g)(d)-(F\circ g)(c) = F(b)-F(a) = \int_a^b f.$

Answer 5

Se puede aplicar la fórmula si el cambio de variables no es un $C ^ 1$-diffeomorphism. Aquí, no tienes la propiedad individual.