Demostrar no es divisible por $1^{2007}+2^{2007}+\cdots+n^{2007}$ $n+2$

Question

Demostrar que para cualquier número natural impar $n$, el número $1^{2007}+2^{2007}+\cdots+n^{2007}$ no es divisible por $n+2$.

Answer 1

Sabemos, $$r^{2m+1}+(n+2-r)^{2m+1}\equiv0\pmod{n+2}$$ for any integer $m\ge0$

Que $r=1,2\cdots,n,n+1 $ y agregar a $$T=2\sum_{1\le r\le n+1}r^{2m+1}\equiv0\pmod{n+2}$ $

$$\text{If the given expression } S=\sum_{1\le r\le n}r^{2m+1}\equiv0\pmod{n+2},$$

$n+2$ dividirá definitivamente $T-2S=2(n+1)^{2m+1}$

Observe que $(n+1,n+2)=1$

Answer 2

% Toque $\ $si $\,f(x)\,$ es un polinomio de coeficiente entero que es impar $\,f(-n) = - f(n),\,$

$\begin{eqnarray} \rm mod\ n\!+\!2\!:\ \color{#c00}{n\equiv -2}\ \Rightarrow &&\ f(1)+f(2)+f(3)\cdots+f(\color{#c00}n-1)&+& f(\color{#c00}n)\\ &\equiv&\ f(1)+\color{#0a0}{f(2)}+\color{blue}{f(3)}\cdots+\quad \color{blue}{f(-3)}& +& \color{#0a0}{f(-2)}\end{eqnarray}$

Pero desde $\,f\,$ es impar, $\ \color{#0a0}{f(-2) = -f(2)},\ \color{blue}{f(-3) = f(3)},\ldots$ fin de sumandos marcas de verificación, $\,\ldots$