Creo que sería extremadamente improbable que, en este momento, se pudiera demostrar algo de este tipo. Incluso el problema mucho más débil (para la $n$ ) de si existen infinitas parejas de este tipo (si $\gcd(ab,n) = 1$ ) parece extremadamente difícil en cuanto $\phi(n) > 2$ .
Consideremos el caso muy especial de que $n = 4$ . Si $\pi_1(x)$ y $\pi_3(x)$ denota la función de recuento de primos para los primos congruentes con $1$ y $3$ mod $4$ respectivamente, el hecho de que:
$$\limsup(\pi_1(x) - \pi_3(x)) = \infty, \qquad \limsup (\pi_3(x) - \pi_1(x)) = \infty$$
implica que hay infinitos pares de este tipo para cualquier $(a,b)$ mod $4$ con $ab$ impar. Sin embargo, estos resultados son completamente insuficientes para demostrar que hay infinitas triples (digamos) de primos consecutivos que son $1$ mod $4$ . Del mismo modo, el problema de los pares de primos cuando $\phi(n) > 2$ parece muy difícil. Me parece que la única aproximación a tales problemas es a través de generalizaciones de la conjetura de los primos gemelos, y (en el mejor de los casos) tales resultados nunca darán una densidad positiva.
Para resumir: como heurística general, por supuesto, su conjetura parece bastante razonable, pero incluso la conjetura más débil (que hay infinitas parejas para todos los $a$ y $b$ ) parece fuera de alcance a menos que $n = 3$ , $4$ o $6$ .
