¿Qué es un conjunto vacío?

Question

Definimos el término "Conjunto" como,

Un conjunto es una colección de objetos.

Y un "Conjunto vacío" como,

Un conjunto vacío es un conjunto que no contiene nada.

Primer problema que encontré:

Cómo la definición de "Conjunto vacío" es consistente con la definición de "conjuntos" si "Conjunto vacío" no contiene nada y un "conjunto" es una colección de objetos.

Además descubrimos en la teoría de conjuntos que cada conjunto tiene un subconjunto que es el conjunto Nulo.

Como por ejemplo,

Si $A=\emptyset$ y $B=\{1,2,3\}$ entonces,

$$A \subset B$$

Segundo problema que encontré:

Cómo y por qué "Ningún elemento" es referido y considerado como un elemento como lo hacemos en el caso del conjunto nulo, es decir, cuando decimos que cada conjunto tiene un subconjunto que es el conjunto Nulo?

Tercer y último:

Cómo puede un conjunto poseer "algo" y "nada" simultáneamente, es decir, cuando decimos que cada conjunto (que contiene objetos) tiene un subconjunto que es el conjunto Nulo (no contiene nada)?

Answer 1

Una bolsa de compras es un objeto para llevar cosas; una bolsa vacía es una bolsa sin nada dentro.

Desde el punto de vista de las personas capacitadas en matemáticas, la explicación "un conjunto es una colección de objetos" es formalmente consistente con el conjunto estando vacío (en cuyo caso el conjunto es una colección de ningún objeto).

Pero quizás, al principio, deberías simplemente tomar "un conjunto es una colección de objetos" como una idea informal de lo que son los conjuntos. Aparte del conjunto vacío, esa frase también tiene problemas con colecciones de objetos que no son conjuntos porque son "demasiado grandes", por ejemplo, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

Más aún, la mayoría de los conjuntos considerados en la teoría de conjuntos realmente no son conjuntos de "objetos" - son conjuntos de otros conjuntos. En las teorías de conjuntos comúnmente estudiadas, no hay objetos que no sean conjuntos. Esta es otra forma en que la frase "un conjunto es una colección de objetos" puede dar una impresión equivocada.

Así que no te enredes con la frase "un conjunto es una colección de objetos". Una vez que pases algún tiempo trabajando con conjuntos, tendrás una mejor idea de lo que son y cómo funcionan.

Answer 2

Además de la respuesta de Carl, hay una gran diferencia entre tener el conjunto vacío como un miembro $\emptyset \in A$ y tener el conjunto vacío como un subconjunto $\emptyset \subset A$. Creo que estás confundiendo los dos conceptos.

De un conjunto $A$ podemos crear un subconjunto "seleccionando" elementos de $A$. Ahora, si no seleccionamos nada, nos queda con la nada con la que comenzamos, $\emptyset$. No era un miembro de $A, es otro conjunto.

Ahora, por ejemplo con $B = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}$, sí tenemos que el conjunto vacío es un miembro de $B$. Este $B$ podría ser el conjunto de todos los subconjuntos de $C = \{a,b\}$, y uno de esos subconjuntos sería el conjunto vacío, como dijimos antes.

Answer 3

Mi consejo habitual a los estudiantes que tienen dificultades en la introducción a la teoría de conjuntos es trabajar con las definiciones formales hasta que desarrollen alguna intuición.

Por lo tanto, sugiero fuertemente que si no está claro sobre qué es el conjunto vacío y qué tipo de concepto es, se siente y trabaje con su definición formal.

Definición. Decimos que un conjunto $A$ está vacío, si $\forall x(x\notin A)$. Equivalentemente, $\lnot\exists x(x\in A)$.

Axioma. Existe un conjunto vacío, denotado por $\varnothing$.

Suponiendo el axioma de extensionalidad, podemos demostrar que cualquier par de conjuntos vacíos son iguales, por lo tanto el conjunto vacío.

Reclamación. Si $A$ es un conjunto, entonces $\varnothing\subseteq A$. En otras palabras, $\forall x(x\in\varnothing\rightarrow x\in A)$. Y en inglés, cada elemento del conjunto vacío es un elemento de $A$.

Prueba. Si $\varnothing\nsubseteq A$, entonces $\lnot\forall x(x\in\varnothing\rightarrow x\in A)$ es verdadero, lo que significa $\exists x\lnot(x\in\varnothing\rightarrow x\in A)$, y equivalentemente $\exists x\lnot(x\notin\varnothing\lor x\in A)$, lo que se traduce de nuevo a $\exists x(x\in\varnothing\land x\notin A)$. En particular, $x\in\varnothing$ lo que es una contradicción ya que $\lnot\exists x(x\in\varnothing)$ es la definición del conjunto vacío. $\square$

En palabras más simples, la prueba está diciendo, si esto no fuera cierto, deberías ser capaz de encontrar un contraejemplo, lo que significa un elemento del conjunto vacío que no es un elemento de $A$. Pero no hay tales elementos. Así que la afirmación se mantiene.

Una vez que te sientes a demostrar algunas afirmaciones sobre conjuntos, una vez que has pasado por varios argumentos de verdad vacua como los anteriores, una vez que has jugado con conjuntos, obtendrás una imagen y lo que es un conjunto vacío será más claro.

Answer 4

Los matemáticos no hacen gramática; O más correctamente, aquellos que son pedantes sobre la gramática usualmente no pueden ser precisos sobre las matemáticas. Desafortunadamente has caído en la trampa del 'idioma común', que se define por sus inconsistencias.

Notarás que los romanos no tenían el número (símbolo) cero, y gran parte del inglés se basa en la suposición victoriana de una gramática latina, así que estás atascado con lo que los programadores de software llaman un error de 'fuera por uno'. Ninguna cosa es un número de cosas; ese número es cero, a pesar de las confusiones del (mal) entendimiento común. ¡Una trampa similar ocurre entre 'O' y 'O exclusivo', con la versión en inglés de la primera significando la última!

Toma un tiempo sentirse cómodo con estas diferencias y distinciones en la escritura matemática.

Answer 5

El conjunto vacío (primer "problema")

El El conjunto vacío (los conjuntos se definen unívocamente por sus elementos, por lo que no hay múltiples "conjuntos vacíos") es una primitiva matemática, una entidad conceptual sobre la que se construye un marco matemático más amplio.

Las primitivas matemáticas son notoriamente difíciles de definir. Una de las definiciones de Euclides de un "punto" es "lo que no tiene parte"; uno de mis libros de texto de matemáticas preguntaba con sorna "¿no podría aplicarse también a un actor sin trabajo?" Del mismo modo, un "número" puede considerarse normalmente como "la cantidad de algo" que hay, pero en ese sentido, el número "cero" representa "nada de algo", lo cual es "raro" del mismo modo que "una colección de sin objetos " es "raro".

Dicho esto, hay algunas formas de intentar conceptualizar el conjunto vacío:

• La analogía de la "bolsa de la compra" antes mencionada es bastante buena, porque muestra que el hecho de que los conjuntos sean definido por el hecho de que puedan tener "objetos" matemáticos en ellos es distinto del hecho de que no todos los conjuntos realmente tienen un número no nulo de objetos en ellos. Se puede ir un poco más lejos con esto: al igual que se pueden sacar objetos de una bolsa de la compra hasta que esté vacía, se puede imaginar restando un conjunto a partir de sí mismo, es decir, creando un nuevo conjunto con ninguno de los artículos del juego original -y, por supuesto, esto sigue siendo un juego, porque ¿qué otra cosa podría ser?
• De manera similar, pero sin la analogía, considere el intersección operación de ajuste en dos disyuntiva conjuntos. Los conjuntos son disyuntiva cuando no contienen elementos comunes, por ejemplo {A,B} y {C,D} y el intersección de dos conjuntos es el set de elementos comunes. Por ejemplo, para {A,B} y {B,C} la intersección es el conjunto {B} . Pero para {A,B} y {C,D} la intersección es, por supuesto, el conjunto {} .
• Incluso si la operación de intersección no tiene sentido intuitivo para usted cuando no quedan elementos en el conjunto resultante, puede considerar que todas las operaciones de conjunto son simplemente operaciones de texto basadas en reglas gramaticales. (Esta es una rama de las matemáticas muy formalizada y bien desarrollada que, en última instancia, sustenta gran parte de la informática, pero intentaré ser bastante poco técnico). Consideremos una representación textual de conjuntos en la que el par de símbolos { y } denotan una set y el símbolo , separa cada conjunto miembro del siguiente. No es necesario "entender" lo que esto "significa" en un sentido filosófico para reconocerlo, por ejemplo, {A} es un conjunto que contiene el único elemento A y {A}} es una representación textual mal formada (es decir, inválida) en este esquema ("esquema" aquí es una palabra no técnica; la palabra correcta es "gramática"). En otras palabras, {A}} no significa nada; no representa un conjunto, porque } debe siempre se emparejen con { . (Obsérvese que en el punto anterior utilizaba implícitamente esta gramática sin necesidad de explicarla; es, por supuesto, bastante intuitiva). Ahora bien, es {} ¿un conjunto válido en esta gramática? La respuesta es sí porque las llaves están correctamente emparejadas. ¿Qué elementos contiene {} ? No hay ninguna.
• La manera formal de definir los conjuntos en la teoría de conjuntos es en realidad empezar con el conjunto vacío, definir las operaciones de conjunto y permitir incluyendo conjuntos dentro de otros conjuntos (es decir, afirmar que para cada conjunto S , {S} también es un conjunto). En este caso, no hay posibilidad de que exista {} contradiciendo la definición de la palabra "conjunto", ya que nuestra definición de "conjunto" comienza con las palabras " {} es un conjunto".

Subconjuntos (segundo "problema")

Parece que la palabra "subconjunto" le da una impresión equivocada. La frase "A es un subconjunto de B" no no implican cualquiera de los siguientes:

• A es "más pequeño que" B (es decir, tiene menos miembros)
  • A veces se utiliza la frase "subconjunto propio" para indicar un conjunto que es "más pequeño que" el superconjunto: es decir, si A es un adecuado subconjunto de B, entonces existe al menos un elemento de B que es no en A.
• A es un miembro de B (es decir, A es uno de los "objetos" de B)

Todo lo que esa frase significa es que, para cada "objeto" que está en A, es también en B. Hay dos maneras fáciles ("triviales") de que esto sea cierto:

• A es B. Es decir, contienen exactamente los mismos elementos. Si A es B, entonces ¿es posible que A contenga algo que B no contiene? No, por supuesto que no. Por tanto, A es un subconjunto de B.
• A no tiene elementos. Si A no tiene elementos, ¿tiene algún elemento que no esté en B? No, porque no tiene ningún elemento, período .

El segundo punto, obviamente, es por qué el conjunto vacío es un subconjunto de todos los conjuntos. El primer punto es el caso especial que describe el hecho de que {} es un subconjunto de sí mismo . Aquí, donde A es {} y B es también {} Si el número de elementos de A es igual al número de elementos de B, es cierto que A no tiene elementos (y, por tanto, no tiene elementos que no estén también en B) y que A y B contienen exactamente los mismos elementos (es decir, ninguno de los dos contiene elementos). Por lo tanto, trivialmente, "todos los elementos" de A (¡ninguno de ellos!) están también en B.

Si le confunde que las afirmaciones se consideren "verdaderas" cuando en realidad no describen nada, considere la siguiente afirmación: "Todos los unicornios carecen de cuernos". En lugar de preguntar por qué es o no es cierto, considere cómo podría ser falso . Si fuera falso, entonces al menos un unicornio tendría un cuerno. Pero no existe ningún unicornio, por lo que no hay unicornios que tengan cuernos. Por tanto, la afirmación no puede ser falsa. Del mismo modo, es también cierto que "todos los unicornios tienen cuernos", porque simplemente estamos haciendo afirmaciones generales sobre nada . No hay unicornios que falta cuernos, así que todos los unicornios tienen cuernos.

Contiene algo y nada (tercer "problema")

En realidad se trata de una discusión más sobre el concepto de subconjuntos. Una vez más, es un subconjunto de no significa es miembro de .

Consideremos un conjunto S descrito como {A,B,C} (es decir, su miembros son A, B y C, sean los que sean).

En tus palabras, "posee algo" porque "posee" (es decir, "tiene miembros") A, B y C. Ahora bien, ¿tiene sentido decir que "no posee nada"? Bueno, tal vez, pero esa es una terminología increíblemente vaga, así que volvamos a lo que realmente se afirma: "el conjunto nulo es un subconjunto de todos los conjuntos, y por tanto el conjunto nulo es un subconjunto de S".

¿Significa esto que el conjunto nulo es un miembro de ¿el conjunto S? No, porque los miembros de S son A, B y C, y por lo que sabemos, ninguno de ellos es el conjunto nulo.

Pero significa que S tiene en su interior todos los miembros del conjunto nulo. (Esto es sólo la forma "invertida" de decir que todos los miembros del conjunto nulo son también miembros de S). En otras palabras, hay no miembros del conjunto nulo que son no miembros de S. ¿Cómo lo sabemos? Porque hay no miembros del conjunto nulo... período .

Ahora, ¿qué pasa si S hizo contener el conjunto nulo? ¿Qué aspecto tendría? Bueno, entonces tendríamos S descrito por {A, B, C, {}} . (Ignora los espacios; no significan nada.) Ahora, {} sigue siendo un subconjunto de S, porque, de nuevo, {} no tiene miembros que no estén también en S. Pero ahora, {} también es un miembro de S. Esto puede parecer un poco raro al principio, pero recuerda que los conjuntos no son colecciones de "objetos" en el sentido de "contener" objetos físicos; son colecciones de entidades matemáticas o conceptos . (Incluso los números enteros son "conceptos matemáticos" más que realidades físicas; ¿cuál es el físico realidad de, por ejemplo, el número 3). {} como se ha establecido, es una entidad matemática; tiene una definición y un significado. Por lo tanto, el conjunto {A, B, C, {}} no es más "raro" que el conjunto {A, B, C, 0} o el conjunto {A, B, C, (0,0)} donde (0,0) representa el punto de origen de un sistema de coordenadas cartesianas.