Demuestra que $ \ln $ y $ \exp $ son inversos

Question

Si tomamos las definiciones de $ \exp $ y $ \ln $ de la siguiente manera:

• $ \exp (x) = { \large\sum\limits_ {i=0}^ \infty } \dfrac {x^i}{i!}$
• $ \ln (x) = { \large\int_1 ^x} \dfrac1t\ dt$

¿cómo podríamos probar que estas funciones son inversas?

Ni $$ \exp ( \ln (x)) = \sum ^ \infty_ {i=0} \frac { \left ( \int_1 ^x \frac 1t\ dt \right )^i}{i!}$$ ni $$ \ln ( \exp (x)) = \int_1 ^{ \sum\limits_ {i=0}^ \infty \frac {x^i}{i!}} \frac 1t\ dt$$

mira todo lo que sea factible para mí. ¿Hay algún teorema que ayude a hacer esto un poco más fácil? Las pistas son bienvenidas. :)

Answer 1

Aquí tienes un boceto de la prueba:

1) $f(x) = \exp x$ es diferenciable en todas partes con $f'(x) = f(x)$ .

2) $f$ es invertible.

3) La inversa $f^{-1}$ tiene $(f^{-1})'(f) = 1/f$ .

4) $f^{-1}(x) = \log x$ .

Answer 2

La serie de potencias para $f(x) = e^x$ deja claro que $f'(x) = f(x)$ para todos $x.$ De la FTC vemos que si $g(x) = \ln x,$ entonces $g'(x) = 1/x.$ Considere la función $g(f(x)),$ definido para $x\in \mathbb R.$ La regla de la cadena muestra que la derivada de esto es igual a $g'(f(x))f'(x) = (1/f(x))f(x) = 1.$ Así, $g(f(x)) = x+c$ en $\mathbb R$ para alguna constante $c.$ Porque $g(f(0)) = 0,$ vemos $c=0.$