Prueba de la existencia de un punto con una cierta propiedad de una función continua

Question

Que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua y $\int_0^1xf(x)dx=0$. Mostrar que existe un $c\in(0,1)$ así que $f(c)=(\int_c^1f(x)dx)^2$.

Como una posible solución, probé asumiendo que tal punto no existe, entonces la función $g(x)=f(x)-(\int_x^1f(t)dt)^2$ tiene signo constante para todas las $x\in(0,1)$. $g(x)>0$ no puede ser cierto para todas las $x\in(0,1)$ desde entonces $\int_0^1xf(x)dx>0$. Pero no puedo averiguar cómo probar que $g(x)<0$ % todo $x$no puede ser verdad.

Gracias

Answer 1

Según lo sugerido en el comentario de Greg Martin, introduzcamos $F(x):=\int_x^1 f(t)dt$, que satisface que $F'(x)=-f(x)$ y $F(1)=0$. Por otra parte, $\int_0^1 F(x)dx=\int_0^1xf(x)dx=0$, así que por continuidad, existe $x_0\in (0,1)$ tal que $F(x_0)=0$. Que $G(x):=e^{\int_0^xF(t)dt}F(x)$. En primer lugar, por definición, $$G'(x)=e^{\int_0^xF(t)dt}\big((\int_x^1f(t)dt)^2-f(x)\big).$ $ en segundo lugar, $G(x_0)=G(1)=0$, así que por el teorema de Rolle existe $c\in (x_0,1)$, que $G'(c)=0$. La conclusión sigue.