Comportamiento asintótico de una secuencia con suma finita

Question

Estoy trabajando en$ $ u_n = \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1} {k ^ 2 + (n-k) ^ 2} $$ para obtener un comportamiento asintótico ya $n \rightarrow +\infty.$ ya he visto que $u_n$ $0$.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que nu_n $$ = \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {n} {k ^ 2 + (n-k) ^ 2} = \frac {1} {n} \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1} {(k/n) ^ 2 + (1-k/n) ^ 2} \sim\int_ {0} ^ {1} \frac {dk} {k ^ 2 + (1-k) ^ 2} = \frac {\pi} {2} $$ $n\rightarrow\infty$; así $u_n \sim \pi/(2n)$ en ese límite.

Answer 2

Factor $n^2$. Tienes $\frac{1}{n^2}\frac{1}{k^2/n^2+(1-k/n)^2}$, y si usted relable $u=k/n$ efectivamente aproximar la integral

$$\int_0^1\frac{du}{u^2+(1-u)^2}.$$

Debería ser fácil de evaluar por lo que la serie tiende a una constante dividida por $n$, por ejemplo, se $O(1/n)$.

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$

$\ds{u_{n}\equiv\sum_{k\ =\ 0}^{n}{1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}}\,.\quad}$ Comportamiento asintótico como $\ds{n\ \to\ \infty:\ {\large ?}}$

\begin{align} u_{n}&\equiv \sum_{k\ =\ 0}^{\infty}\bracks{% {1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}}- {1 \over \pars{k + n + 1}^{2} + \pars{k + 1}^{2}}} \\[5mm]&=\sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}} -\sum_{k\ =\ 1}^{\infty}{1 \over k^{2} + \pars{k + n}^{2}} \\[5mm]&={1 \over n^{2}}+ \bracks{\color{#c00000}{\sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}}} - \pars{n\ \to\ -n}}\tag{1} \end{align}

A continuación, \begin{align}&\color{#c00000}{% \sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}}} =\half\sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k^{2} -nk + n^{2}/2} =\half\sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over \bracks{k - {\rm r}_{-}\pars{n}} \bracks{k - {\rm r}_{+}\pars{n}}} \\[5mm]&\mbox{where}\quad {\rm r}_{\pm}\pars{n} \equiv {1 \pm \ic \over 2}\,n \quad\mbox{such that:} \\[5mm]&\color{#c00000}{% \sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}}} =\half\,{\Psi\pars{-{\rm r}_{-}\pars{n}} - \Psi\pars{-{\rm r}_{+}\pars{n}} \over \bracks{-{\rm r}_{-}\pars{n}} - \bracks{-{\rm r}_{+}\pars{n}}} \end{align} $\ds{\Psi\pars{z}}$ es la Función Digammay \begin{align} &\color{#c00000}{% \sum_{k\ =\ 0}^{\infty}{1 \over k^{2} + \pars{n - k}^{2}}} =-\,\half\,{2\ic\,\Im\Psi\pars{-{\rm r}_{+}\pars{n}} \over \ic n} =-\,{\Im\Psi\pars{-{\rm r}_{+}\pars{n}} \over n} \\[5mm]&=-\,{1 \over n}\,\Im\Psi\pars{{-1 - \ic \over 2}\,n} \end{align}

Sustituyendo en la expresión de $\pars{1}$: \begin{align} \color{#66f}{\large u_{n}}&={1 \over n^{2}} + \braces{% -\,{1 \over n}\,\Im\Psi\pars{{-1 - \ic \over 2}\,n} -\bracks{{1 \over n}\,\Im\Psi\pars{{1 + \ic \over 2}\,n}}} \\[5mm]&=\color{#66f}{\large-\,{1 \over n}\bracks{% \Im\Psi\pars{{-1 - \ic \over 2}\,n} + \Im\Psi\pars{{1 + \ic \over 2}\,n}} + {1 \over n^{2}}} \end{align}

Con el Digamma Fórmula Asintótica $$ \Psi\pars{z}\sim \ln\pars{z} - {1 \over 2z} - {1 \over 12 z^{2}} + \cdots\,,\qquad \verts{z}\ \para\ \infty\quad \mbox{en}\quad \verts{{\rm arg}\pars{z}}\ <\ \pi $$

vamos a tener \begin{align} u_{n}&\sim -\,{1 \over n}\bracks{-\,{3\pi \over 4} + {\pi \over 4}} + {1 \over n^{2}} =\color{#66f}{\large{\pi \over 2}\,{1 \over n} + {1 \over n^{2}}}\,,\qquad n\ \to\ \infty \end{align}

Answer 4

Conjunto de $\displaystyle f(x):=\frac{1}{x^2+(1-x)^2}$. Tenemos $$ u_n=\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) $$ $f$ es una función continua en $[0,1]$, $nu_n$ es entonces una suma de Riemann relacionada, como $n$ tiende a $+\infty$, tenemos: $$\begin{align} n\:u_n &=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\\\\ &=\int_0^1f(x)\:dx+\mathcal{o}(1)\\\\ &=\int_0^1\frac{1}{x^2+(1-x)^2}\:dx+\mathcal{o}(1)\\\\ &=\int_0^1\frac{2}{1+(2x-1)^2}\:dx+\mathcal{o}(1)\\\\ &=\arctan(2\times 1-1)-\arctan(2\times 0-1)+\mathcal{o}(1)\\\\ &=\frac{\pi}{2}+\mathcal{o}(1) \end {Alinee el} $$ dando el % de expansión asintótica $$ u_n=\frac{\pi}{2n}+\mathcal{o}\left(\frac{1}{n}\right).$$