Punto aleatorio distribtion

Question

Cómo generar numérica de un conjunto de puntos aleatorios $(x_1,y_1), (x_2,y_2),\cdots, (x_N,y_N)$ de manera tal que los pares de distancias

$d = \sqrt { (x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2}$, para todos los $ 0<i\le N, 0<j\le N $

satisfacer algunas distribución dada, $P(d)$ (por ejemplo, Gauss, exponencial, etc.).

Answer 1

Si usted muestra todos los Puntos de forma independiente desde un punto fijo de Distribución espacial con la densidad de $g:\mathbb R^2 \to [0,\infty)$, a continuación, cada dos Puntos distintos tienen la misma Distribución de la distancia. Ahora si $F$ es la función de densidad acumulativa de la Distribución de $P(d)$, tendrá que resolver la siguiente ecuación $$ F(r) = \mathbb P(\|x_1-x_2\|_2 \leq r) = \int_{\mathbb R^2} \int_{B_r(x_1)} g(x_1) g(x_2) dx_2 dx_1 = \int_{\mathbb R^2} g(x) (g \ast \mathbf 1_{B_r})(x) dx.$$ Aquí $B_r(x)$ es la Pelota alrededor de $x$ radio $r$. Ahora esto es una Especie de ecuación integral, la que para resolver numéricamente es otra cuestión en la numerics sección.