Aquí hay dos ejemplos que pueden ser útiles
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Ejemplo 1: Generalizar en orden a utilizar técnicas de análisis de resp. formal operador técnicas
Problema: Evaluar
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{2^k}$$
Esto se puede hacer en lugar de evaluar
$$\sum_{k=1}^{n}k^2x^k$$
Por $x\neq 1$ sabemos que
$$S(x)=\sum_{k=1}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1 }}{1-x}$$
Ahora la diferenciación de cada lado y se multiplica con $x$ obtenemos
\begin{align*}
(xD)S(x)&=\sum_{k=1}^{n}kx^{k}\\
y=(xD)\frac{1-x^{n+1 }}{1-x}\\
&=\left(1-(n+1)x^n+nx^{n+1}\right)\frac{x}{\left(1-x\right)^2}
\end{align*}
La diferenciación de nuevo cada lado y multiplicando con $x$ obtenemos
\begin{align*}
{(xD)}^2(x)&=\sum_{k=1}^{n}k^2x^{k}\\
y=(xD)^2\frac{1-x^{n+1 }}{1-x}\\
&=\left(1+x-(n+1)^2x^n-(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2}\right)\frac{x}{\left(1-x\right)^3}
\end{align*}
Llegamos a la conclusión de
\begin{align*}
S\left(\frac{1}{2}\right)&=\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{2^k}\\
&=\left(\frac{3}{2}-(n+1)^2\frac{1}{2^n}-(2n^2+2n-1)\frac{1}{2^{n+1}}-n^2\frac{1}{n+2}\right)\cdot 4\\
Y=6-\frac{1}{2^n}\left(n^2+4n+6\right)
\end{align*}
Otro ejemplo donde la generalización es útil
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Ejemplo 2: Generalizar integrales mediante la introducción de un parámetro y el uso de la técnica de parámetro de diferenciación
Problema: Evaluar
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}dx$$
dado que $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{2}\pi$.
La idea es introducir un parámetro y evaluar la más general integral
\begin{align*}
I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^2 (ax)}{x^2}dx,\qquad\geq 0\etiqueta{1}
\end{align*}
y el uso del parámetro de diferenciación.
La diferenciación de cada lado de (1) con respecto a $a$, obtenemos
\begin{align*}
I^{\prime}(a)&=\int_{0}^{\infty}\frac{2\sen (ax)\cos (ax)\cdot x}{x^2}dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{2\sin (2ax)}{x}dx\\
\end{align*}
Ahora la sustitución de $y=2ax$, obtenemos $dy = 2a dx$, y
\begin{align*}
I^{\prime}(a)&=\int_{0}^{\infty}\frac{\pecado y} de{y}dx=\frac{1}{2}\pi\\
\end{align*}
La integración de cada lado da
$$I(a) =\frac{1}{2}\pi a+C,\qquad C \text{ constante}$$
Desde $I(0)=0$, obtenemos $C=0$. Por lo tanto $I(a)=\frac{1}{2}\pi,\geq 0$. $A=1$ rendimientos
$$I(1)= \int_{0}^{\infty}\frac{\sin ^2 x}{x^2}dx = \frac{1}{2}\pi$$
Nota: Los ejemplos anteriores se pueden encontrar en la Resolución de problemas a Través de Problemas. Se declaró como problemas 1.12.1 y 1.12.3 en el capítulo 1.12 Generalizar.
