Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $\text{Ch}(R)$ la categoría de los complejos de la cadena de $R$-módulos. $\text{Ch}(R)$ es primero que todo una abelian categoría, pero también puede ser equipado con la estructura de un (simétrica?) cerrado monoidal categoría: ella ha
- un producto tensor $A \otimes B$ cuyo componente en grado $n$ $\bigoplus_{i+j=n} A_i \otimes_R B_j$ y donde el diferencial se define por $d(a \otimes b) = da \otimes b + (-1)^{|a|} a \otimes db$, y
- un interno de hom $\text{hom}(A, B)$ cuyo componente en grado $n$ $\prod_i \text{Hom}_R(A_i, B_{i+n})$ y donde el diferencial se define por $(df)(a) = d(fa) - (-1)^{|f|} f(da)$
que están relacionados a través de la contigüidad $\text{Hom}(A \otimes B, C) \cong \text{Hom}(A, \text{hom}(B, C))$.
¿Cómo puedo motivar a la convención de signos en cualquiera de estas definiciones?
Que puedo responder a esa pregunta: firmar convenios son sólo el graduado de Leibniz de la regla. Como Theo Johnson-Freyd explica en MO, esto es debido a que $\text{Ch}(R)$ es, precisamente, la categoría de los módulos a través de un uno-dimensional gradual conmutativa Mentira álgebra $R$ se concentró en el grado $1$. Pero esto es insuficiente, porque no sé la respuesta a esta pregunta:
¿Qué gradual álgebras de Lie tienen que ver con la topológicos de la motivación para el estudio de los complejos de la cadena?
Por "el topológica de la motivación", me refiero a la idea, de hecho precisa la Dold-Kan correspondencia, que una cadena compleja es, a grandes rasgos, una linealización de una combinatorialization de un espacio topológico. Creo que la convención de signos para el producto tensor puede ser motivado por el pensamiento acerca de simplicial cadenas, pero este no tiene el aire de inevitabilidad que me gustaría que fuera de tan fundamental una definición.
Tengo la sensación de que todo vuelve a la característica de Euler. Un delimitada complejo puede ser enviado a una corriente alterna suma de los elementos de $K_0(R)$, y esta suma es invariante bajo de la cadena de homotopy y aditivo en resumen exacto de secuencias y, posiblemente, satisface una característica universal de algún tipo, y que claramente muestra que hay una distinción real entre el par y el impar de elementos de una cadena compleja. Pero no sé conceptual de la ruta a partir de esta idea para el graduado de Leibniz de la regla.
