¿Por qué todo subgrupo discreto de un grupo Hausdorff es cerrado?

Question

Hace poco que he empezado a aprender sobre grupos topológicos y todavía no estoy familiarizado con la combinación de topología y teoría de grupos.

He leído una propiedad útil del grupo discreto en la wikipedia :

todo subgrupo discreto de un grupo Hausdorff es cerrado

Pero no tengo ni idea de cómo probarlo. Me parece que no se puede demostrar sólo considerando la estructura topológica, ya que $\left\{\frac{1}{n}: n=1,2,3,...\right\}$ es un discreto subespacio de $\Bbb R$ que no está cerrado.

No sé cómo utilizar la estructura de grupos aquí. ¿Pueden ayudarme, por favor? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $H$ sea un subgrupo discreto de un grupo Hausdorff $G$ . Entonces, por supuesto, $H=\bigcup_{h\in H}\{h\}$ . Para cada $h\in G$ los conjuntos $\{h\}$ es cerrado, y la familia de conjuntos cerrados $\mathcal F=\{\{h\}:h\in H\}$ es localmente finito: se deduce que la unión también es cerrada.

Localmente finito significa: cada punto de $G$ tiene un barrio $U$ tal que $U$ interseca un número no trivial de elementos de $\mathcal F$ .

Más tarde. Supongo que una pista no era todo lo que se pedía... Por supuesto, ahora tenemos que demostrar que $\mathcal F$ es localmente finito... Supongamos, para llegar a una contradicción, que existe un $p\in G$ tal que cada vecindad de $p$ contiene infinitos elementos de $H$ . Como $H$ es discreto, existe un subconjunto abierto $U\subseteq G$ tal que $U\cap H=\{e\}$ ya que $G$ es un grupo topológico, existe un conjunto abierto $V$ tal que $e\in V$ y $V^{-1}V\subseteq U.$ Ahora $pV$ es una vecindad abierta de $p$ por lo que la hipótesis implica que existe distinto $h_1$ , $h_2\in H$ tal que $h_1$ , $h_2\in pV$ . De ello se desprende que $h_1^{-1}h_2\in V^{-1}V\subseteq U$ para que $e\neq h_1^{-1}h_2\in U\cap H$ . Esto es absurdo.

Answer 2

He aquí otra solución (nótese que por barrio me refiero a barrio abierto):

Dejemos que $H \leq G$ sea un subgrupo discreto del grupo de Hausdorff $G$ .

Paso 1:

Demostraremos que dada una vecindad $U$ tal que $U \cap H = \{e\}$ , existe un vecindario $V \subset U$ tal que $VV^{-1} \subset U$ y $e \in V$ .

Dejemos que $\sigma: U \times U \rightarrow G$ sea el mapa $\sigma(y_1,y_2)=y_1y_2^{-1}$ . Por continuidad existe una vecindad $N \subset U \times U$ de $(e,e)$ tal que $\sigma(N)\subset U$ . Entonces $N$ contiene un conjunto abierto de la forma $V_1 \times V_2$ donde $V_1,V_2 \subset U$ están abiertos y $e \in V_1, V_2$ . Toma $V=V_1 \cap V_2$ . Entonces $V$ es una vecindad de $e$ y $V \times V \subset V_1 \times V_2$ y por lo tanto $VV^{-1} = \sigma(V\times V) \subset \sigma(V_1 \times V_2) \subset U$ .

Paso 2:

Dejemos que $x \in G-H$ . Encontraremos un barrio de $x$ contenida en $G-H$ . Supongamos que $U$ es una vecindad de $e$ tal que $U \cap H= \{e\}$ . Dejemos que $L_x: G \rightarrow G$ se define por $L_x(y)=xy$ . Se trata de un homeomorfismo con inversa $L_{x^{-1}}$ . Ahora, dejemos que $V \subset U$ sea una vecindad de $e$ con las propiedades del paso 1. Tome $W= L_x(V)$ ; este es un barrio de $x$ . Supongamos ahora que $h_1, h_2 \in W \cap H$ . Entonces $h_1=xv_1$ y $h_2=xv_2$ para algunos $v_1,v_2 \in V$ . Así, $v_1^{-1}h_1=x=v_2^{-1}h_2 \implies h_1h_2^{-1}=v_1v_2^{-1} \in VV^{-1} \subset U$ . Así, $v_1v_2^{-1} \in H \cap U$ así que $h_1h_2^{-1}=e$ Por lo tanto $h_1=h_2$ . De ello se desprende que $V$ contiene como máximo un elemento de $H$ .

Si $V$ no contiene ningún elemento de $H$ entonces $V$ es el subconjunto deseado. En caso contrario, si $V \cap H = \{h\}$ ya que $V$ es Hausdorff, podemos separar $x$ y $h$ por subconjuntos abiertos $U_x, U_h \subset V$ (que también estará abierto en $G$ ). Entonces $U_x$ es el subconjunto deseado ya que $U_x \cap H = \emptyset$ .

Answer 3

Lo importante de los grupos topológicos es que son homogéneo en el que las vecindades de cada punto se parecen a las vecindades de la identidad (o de cualquier otro punto). si $H$ es discreto en $G$ entonces algún punto (digamos la identidad) tiene una vecindad $e\in U$ tal que $U\cap H=\{e\}$ . considera el barrio $hU$ del algún punto $h\in H$ . entonces $H\cap hU=\{h\}$ (si no, digamos $g\in H\cap hU$ entonces $h^{-1}g\in h^{-1}hU\cap H=U\cap H$ que es falso por definición de $U$ ).