Infinitas sumas: la adición de términos

Question

Me gustaría saber donde puedo encontrar un tratamiento formal de una idea que yo tenía, suponiendo que tiene sentido. Considerar la infinita suma

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

y definir la suma parcial

$$S_N=\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2}$$

Supongo que

$$R_N = S_N + \frac{1}{N}$$

deberían converger más rápido como $N\rightarrow\infty$. ¿Tiene sentido? Cualquier teoría formal? Gracias!!!

Answer 1

Veamos el error de truncamiento. Tenemos para $k\gt 1$ $$\frac{1}{k(k+1)}\lt \frac{1}{k^2}\lt \frac{1}{(k-1)k}.$$ El uso de la fracción parcial de la descomposición $\frac{1}{t(t+1)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}$, y telescópico sumas, nos encontramos con que el error de truncamiento $E_N$ cuando se trunca en el $\frac{1}{N^2}$ plazo satisface la desigualdad $$\frac{1}{N+1}\lt E_N\lt \frac{1}{N}.$$ El truncamiento de curso subestima la infinita suma. Por lo que el error cuando añadimos el sugerido $\frac{1}{N}$ corrección tiene valor absoluto menos de $\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}$, $\frac{1}{N(N+1)}$. Para un gran $N$, este es mucho menor que $E_N$, ya que el $E_N\gt \frac{1}{N+1}$.

Comentario: buena idea! Hemos utilizado telescópica sumas de dinero para dar a los límites en el error de truncamiento. Es más común el uso de las integrales. Por algo mucho más elaborado que utiliza una similar visión, por favor, mire de Euler-Maclaurin de totalización.

Answer 2

Deje $f(x)=1/x^2$. Luego, con el de Euler-Mclaurin Fórmula de la Suma obtenemos

$$\begin{align} \sum_{n=1}^N\frac1{n^2}&=\int_1^Nf(x)\,dx+\frac12\left(f(N)+f(1)\right)+\sum_{k=1}^{K}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+R_K\\\\ &=1-\frac1N+\frac12\left(\frac1{N^2}+1\right)+\sum_{k=1}^{K}B_{2k}\left(1-N^{-(2k+1)}\right)+R_K\\\\ &=\frac{\pi^2}{6}-\frac1N+\frac{1}{2N^2}-\frac1{6N^3}+\frac1{30N^5}-\frac1{42N^7}+\frac1{30N^9}-\frac5{66N^{11}}+O(N^{-13}) \tag 1 \end{align}$$

Por lo tanto, vemos que la versión modificada de la serie truncada

$$\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}+\frac1N=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac1{N^2}\right)$$

que converge más rápido que el de la onu-modificado truncada por una orden de $1/N$, el ex convergentes como $1/N$ mientras que el segundo convergentes como $1/N^2$.

Y, por supuesto, se puede mejorar aún más el uso de más de un término, en el de Euler-Mclaurin Suma Fórmula. El uso de la expansión en $(1)$, tenemos los siguientes resultados tanto para el real trunca suma y los términos de Euler-Mclaurin Fórmula de la Suma (EMSF):

Para $N=10$, $\sum_{n=1}^{10}\frac1{n^2}\approx 1.54976773116654$, mientras que el EMSF da aproximadamente $1.54976773116652$.

Para $N=100$, $\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2}\approx 1.63498390018489$, mientras que el EMSF da aproximadamente $1.63498390021823$.

Para $N=1000$, $\sum_{n=1}^{1000}\frac1{n^2}\approx 1.64393456668156$, mientras que el EMSF da aproximadamente $1.64393456671489$.

Answer 3

En primer lugar, ya que la suma es monótonamente creciente, podemos utilizar la función de Euler-Maclaurin de la fórmula,

$$(1) \quad \lim_{N \to {\infty}} \sum_{n=1}^N {1 \over {n^2}}= \lim_{N \to {\infty}} {{\pi^2} \over {6}}-1+\int_1^N {1 \over {n^2}} \ dn$$

También sabemos que $(1)$ se convierte en una igualdad en el límite. Por eso hemos añadido una constante después de la aplicación de la fórmula de Euler. Es el término de error.

Sin embargo, sabemos que lo que la integral es, $$\int_1^N {1 \over {n^2}} \ dn=1-{1 \over N}$$

Por lo tanto,

$$\lim_{N \to {\infty}} \sum_{n=1}^N {1 \over {n^2}} = \lim_{N \to {\infty}} {{\pi^2} \over {6}} -{1 \over N}$$

Ya nos gustaría conservar no asintótica aproximaciones, no podemos arbitrariamente agregar términos. Más bien, me gustaría sugerir la adición de, ${1 \over N}$ a eliminar la ${1 \over N}$ plazo de la expansión asintótica. Esto acelera la convergencia, como no dejará de ser una sustracción plazo. En su lugar tendrá,

$$\lim_{n \to {\infty}} \sum_{n=1}^N {1 \over {n^2}}+{1 \over N}={{\pi^2} \over {6}}$$

No sé si usted piensa que esta en contra del propósito o no, pero esta es una manera más formal. A continuación se muestra un gráfico. El rojo es el parcial de sumatorias de $\sum {1 \over n^2}$. El verde es el recién términos ajustados. La naranja es ${{\pi^2} \over 6}$.