$1+x+\ldots+x^n$ cuadrado perfecto

Question

Sea $p$ sea el polinomio $p(x)=1+x+\ldots+x^n$ . Para qué parejas $(a, n)\in\mathbb{N}^2$ , $p(a)$ ¿es un cuadrado perfecto? Me interesa especialmente $p(3)$ .

Answer 1

La ecuación diofantina $f_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=y^2$ .

El libro de Ribenboim sobre la conjetura de Catalan tiene un detallado análisis detallado de esta ecuación diofantina. Salvo los casos que se indican a continuación, no hay más soluciones no triviales. He aquí algunos de los casos fáciles:

1. Siempre existen las dos soluciones triviales $x=0$ y $x=-1$ .

2. Si $n$ es un cuadrado, entonces $x=1$ es una tercera solución.

3. Para $n=3$ si $x\not=0$ entonces $-2|x|<x<2|x|$ implica $(|x|-1)^2<1+x+x^2<(|x|+1)^2$ así que $f_3(x)$ sólo puede ser el cuadrado $x^2$ . Esto da la otra solución trivial $x=-1$ .

4. Para $n=4$ Mira el Problema mensual 11203 (Feb. 2006) o el Ejercicio 1.10 en el libro de Edward Último teorema de Fermat . Las únicas soluciones son $x=-1,0,1,7$ .

5. Para $n=5$ ver el libro de Ed Burger Explorando la jungla de números (Ejercicio 12.11). Comparando $4f_5(x)$ con $(2x^2+x)^2$ y $(2x^2+x+1)^2$ encontramos que las únicas soluciones son $x=-1,0,3$ .

6. Para $n=6$ factorizamos $f_6(x)=f_2(x^3)f_3(x)$ . Según la fórmula $2=f_2(x^3)-(x-1)f_3(x)$ vemos que $\gcd(f_2(x^3),f_3(x))$ divide 2. Pero $f_3(x)$ es siempre impar, por lo que el gcd es igual a 1. Esto obliga a $f_3(x)$ para ser un cuadrado por lo que terminamos con las soluciones triviales $x=0,-1$ .

7. Para $n=7$ si $x>5$ tenemos $$(16x^3+8x^2+6x+5)^2< 256 f_7(x)< (16x^3+8x^2+6x+6)^2,$$ mientras para $x<-4$ obtenemos $$(16x^3+8x^2+6x+5)^2< 256 f_7(x)< (16x^3+8x^2+6x+4)^2.$$ Comprueba los valores intermedios y verás que sólo hay soluciones triviales.

A estas alturas, los métodos elementales se vuelven más difíciles de superar.

Answer 2

Si $a=3$ entonces $n=0,1,4$ son todas las soluciones.

$p(3)=1+3+…+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{3-1}=y^2,3^{n+1}-1=2y^2$

Denote $m=n+1,t=\sqrt{-2}$ entonces $$3^m=1+2y^2$$ $$(1+yt)(1-yt)=(1+t)^m(1-t)^m$$ Obtenemos $$1+yt=±(1+t)^m,1-yt=±(1-t)^m$$ así que $$1=±\frac{(1+t)^m+(1-t)^m}{2},y=±\frac{(1+t)^m-(1-t)^m}{2t}$$ Obtenemos $m=1,2,5$ y $|y|=1,2,11$ .

Answer 3

Hay muchas parejas: $$\,p(1,n^2)\,,\,\,\forall\,n\in\Bbb N\;,$$

$$\,p(3,1)=2^2\;,\;p(3,4)=11^2\;,\ldots$$