¿La gente del estudio "el anillo de presentaciones"? Es esta una pregunta tonta?

Question

Así que una manera de definir una presentación a un grupo, es decir, bueno, vamos a generar el grupo libre con un número de generadores y, a continuación, cociente diciendo ciertos elementos (relatores) cancelar como $aa^{-1}$ (y otras cosas, usted tiene que tomar el normal subgrupo generado por los elementos, pero la idea básica funciona, creo). Es decir, hemos de algunas palabras $R_1, R_2, \ldots$ relaciones $R_1 = R_2 = \ldots = e$.

Un ejemplo sencillo es el grupo cíclico de orden n: una presentación es $\langle g \mid g^n \rangle$.

Mi pregunta es: ¿y qué hacemos esto para los anillos? Me estoy imaginando que haría algo como tomar el "anillo" que consta de todas las cantidades de los productos de los generadores, y tal vez en lugar de tener todos los relatores igual a la trivial grupo que sería igual a cero el ideal, ya que, si se quería alguna palabra $R$ a la igualdad de la multiplicación de identidad que usted acaba de decir $R - 1 = 0$. (En particular, los comentarios sobre el vagamente relacionadas con la pregunta que me puso a pensar acerca de esto está aquí: podría formular una rigurosa prueba por "dividir por las relaciones"?)

Answer 1

Ciertamente, usted puede: las construcciones del tensor de álgebra, álgebra simétrica y el exterior de álgebra, todo puede ser realizado mediante generadores y relaciones (aunque tal vez son habitualmente se considera conceptualmente a través de una característica universal). La operación de localización es también un ejemplo de esto: que formalmente linda "denominadores" satisfacer el requisito de relaciones (la localización de $A$ a un conjunto multiplicativo $S$ puede ser pensado adyacentes variables $x_s, s \in S$ con las relaciones $s x_s = 1$).

La noción de un anillo de tener un "finito" presentación sobre otro anillo de $R$ (es decir, como el cociente de un polinomio anillo de $R$ por un finitely generado ideal, es decir, por un número finito de generadores y relaciones) es de importancia en la geometría algebraica, como muchas de las propiedades demostrado en, digamos, el finita tipo de caso sobre noetherian planes de extender aquí (por ejemplo, creo que Chevalley del teorema de la constructibility de la imagen de un edificable situada bajo un morfismos de los esquemas es verdadera bajo finito de presentación de las hipótesis). Yo no soy lo suficientemente calificado para decir mucho más sobre este tema, pero es posible encontrar BCnrd la respuesta aquí esclarecedor.

Answer 2

Usted puede considerar la posibilidad de presentaciones para cualquier algebraicas sistema dado por las constantes especiales, ecuaciones y operaciones. Por ejemplo, los grupos están dadas por el constante especial 1 (para la identidad multiplicativa), la única operación de inversa, x^-1, y la operación binaria de la multiplicación, $xy$, además de las ecuaciones que estos deben cumplir. En ese caso, puede especificar cada objeto con tal de las operaciones en términos de un conjunto de generadores, y las relaciones que los generadores deben satisfacer. El estudio de estos tipos de construcciones que se conoce como álgebra universal.

Para el caso específico de anillos conmutativos más de un campo, hay un explícito algoritmo para trabajar con presentaciones, conocida como la base de Groebner del algoritmo. Es ampliamente implementado en álgebra simbólica paquetes. (En el caso de anillos conmutativos, básicamente, sólo trabajando con los sistemas de polinomios.)