Yo recomendaría al menos el uso de Rudin como suplemento basado en mi propia experiencia con PoMA y Real y Complex. Hice un autoestudio de PoMA y déjame advertirte que si decides ir por ese camino, será una lucha muy difícil. Rudin presenta el análisis de la manera más limpia posible (las pruebas son tan hábiles que a menudo tienen más sabor a álgebra que a análisis para mí honestamente) y a menudo omite los detalles intermedios en sus pruebas. Debes estar preparado para sentarte con un lápiz y un papel y verificar cuidadosamente todos los pasos de sus argumentos. Pero no quiero hablar de eso, ya que puedes encontrar ese comentario en cualquier reseña de Rudin.
Déjenme hablarles de los problemas de Rudin. Te quedarás mirándolos durante horas, incluso días, y no harás ningún progreso. Te convencerás de que el enunciado es erróneo, de que el problema está más allá de tu conjunto de herramientas, e incluso te plantearás buscar la solución. Si te quedas mirando los problemas el tiempo suficiente, al final darás con la solución, y te darás cuenta de por qué hizo la pregunta.
Siempre encuentro que la parte más difícil de aprender un nuevo campo de las matemáticas es aprender cómo es una pregunta interesante. Rudin tenía un gusto matemático excepcional, y ese gusto brilla tanto en esas pruebas a menudo denostadas como en su elección de preguntas. Si uno se toma el tiempo de preguntarse por qué se hizo cada pregunta, cómo encaja en el panorama general y con qué parte del capítulo se conecta, aprenderá una cantidad increíble del sabor del análisis. Realmente, si quieres aprender a pensar como un analista clásico, lee a Rudin.
Como apunte, puede que no sea tu caso, pero a mí me parece que si un libro está demasiado expuesto, en realidad me resta comprensión. Rudin puede omitir detalles, pero al menos entonces se sabe que hay que completarlos. Hacer esto me obligó a aprender muchas de las técnicas básicas de argumentación en el análisis. Cuando se utiliza un libro que explica cuidadosamente todos los detalles, me parece que es demasiado fácil renunciar a un argumento y no dedicar tiempo a aprenderlo realmente, ya que el argumento parece muy claro. Hay que admitir que esto se debe posiblemente a que, en el fondo, soy bastante perezoso :)
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Yo trataría de leer Rudin, y si realmente no entiendes algo mira si lo encuentras en Apostol. Apostol es mucho más fácil de leer, pero para ser sincero, en algún momento de tus matemáticas vas a tener que leer textos que están escritos como Rudin. Omiten detalles y presentan la prueba más corta y limpia, no la más fácil. Así que es bueno acostumbrarse a eso ahora.
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@PZZ Hay una razón por la que los preparadores físicos insisten en que se "caliente" con pesos y ejercicios más ligeros antes de comenzar un verdadero entrenamiento de construcción muscular. Un principio similar se aplica al "músculo matemático": hay que calentar antes de intentar entrenamientos verdaderamente extenuantes.Recuerda que las matemáticas, como estructura, se construyen verticalmente. Lo ideal es comenzar en el piso inferior y recorrer las escaleras a tu propio ritmo y dirección.
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@Mathemagician1234 Los preparadores físicos también insistirán en que sigas desafiándote a ti mismo. Siempre he descubierto que aprendo más cuando los textos me siguen presentando nuevos retos y me dejan cosas para pensar en mí mismo.