Solucionar $y^2= x^3 − 33$ en números enteros

Question

Esta no es la tarea, puede alguien ofrecer una buena prueba clara de como he estado luchando con esto por algún tiempo.

Resolver la ecuación $y^2= x^3 − 33$; $x, y \in \mathbb{Z}$

Answer 1

$$ y^2 + 25 = x^3 - 8. $$

Nota: $y^2 + 25$ no puede ser divisible por cualquier prime $q \equiv 3 \pmod 4,$, por tanto, no por cualquier número de $m \equiv 3 \pmod 4.$

Si $y$ eran impares, $y^2 + 25 \equiv 2 \pmod 4,$ imposible para $x^3 - 8.$ por lo Tanto $y$ es incluso y $x$ es impar.

$$ y^2 + 25 = (x - 2)(x^2 + 2 x + 4). $$ Como necesitamos $x-2 \equiv 1 \pmod 4,$ sabemos $x \equiv 3 \pmod 4.$, $(x^2 + 2 x + 4) \equiv 1 + 2 + 4 \equiv 3 \pmod 4. $ Esto es prohibida a partir de la división de $y^2 + 25,$ así hemos llegado a una contradicción de las ecuaciones en números enteros.

Hecho.

Answer 2

La ecuación es una Curva de Mordell, y el número de soluciones que se pueden encontrar en este enlace. Inspirado por la prueba aquí, que funciona para ciertos tipos de Mordell Curvas, se puede proceder como sigue.

En primer lugar, si $x$ es par, entonces

$$y^2 \equiv -33 \equiv 3 \mod 4$$

Esto no es posible; por lo tanto, $x$ debe ser impar.

Nos re-escribir la ecuación de la siguiente manera para permitir la RHS a ser factorizados.

$$y^2+25=x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$

Tenga en cuenta que $x^2+2x+4=(x+1)^2+3)>0$, y desde $x$ es impar,

$$((x+1)^2+3))\equiv 3 \mod 4$$

Por lo tanto, $x^2+2x+4$ debe tener un primer factor $p \equiv 3 \mod 4$, y por lo tanto $p|(y^2+25)$.

Pero esto implica que $$y^2\equiv -25 \mod p$$

y la ecuación anterior no tiene soluciones desde $25$ es una ecuación cuadrática de residuos para cualquier $p$, y desde $p \equiv 3 \mod 4$, el negativo de un residuo módulo p es un no residuo.

Por lo tanto, la ecuación original no admite soluciones también.