Demostrar que $\{\frac{\phi (n)}{n}\}_{n \in \Bbb N}$ es denso en $[0,1]$

Question

supongamos que $\phi(n)$ es la función de Euler. demostrar que, a $\{\frac{\phi (n)}{n}\}_{n \in \Bbb N}$ es denso en $[0,1]$

(si $A_n=\{1 \leq m \leq n | m \in \Bbb N ; gcd(n,m)=1\}$$\phi(n)=|A_n|$)

Pienso : Si $p$ es primo, a continuación,$\phi(p)=p-1$. para cualquier $ \varepsilon > 0 $ no es un número primo $p$ tal que $1-\varepsilon \leq \frac{p-1}{p} \leq 1$. para otros elementos no sé qué puedo hacer.

Answer 1

Este se basa en el hecho de que $$\sum_{p\text{ prime}}\frac1p=+\infty$$ que a su vez implica que $$\prod_{p\text{ prime}}\frac{p-1}p=0\,.$$ Una vez conocido este hecho, la prueba es fácil. Deje $p_n$ $n$- ésimo primo. Deje $\epsilon>0$. Hay algún número primo $q=p_{N}$ tal que $\frac{q-1}{q}\geq 1-\epsilon$. A continuación, considere la secuencia de números $$k_n=\prod_{i=0}^n\frac{p_{N+i}-1}{p_{N+i}}=\frac{\phi\left(\prod_{i=0}^np_{N+i}\right)}{\prod_{i=0}^np_{N+i}}$$ A continuación, $k_n$ tiende a cero y la diferencia entre términos consecutivos es $\leq \epsilon$. Por lo tanto, cualquier número real $\in[0,1]$ puede ser aproximada por algunos $\frac{\phi(n)}n$ hasta arbitrario $\epsilon>0$.