El residuo de la integral: $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{ax}}{1+e^x} dx$$0 \lt a \lt 1$.

Question

Estoy estudiando el análisis complejo. Me he encontrado con el siguiente integral:

$$\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{ax}}{1+e^x} dx \text{ with } a \in \mathbb{R},\ 0 \lt a \lt 1. $$

He hecho la sustitución de $e^x = y$. ¿Qué tipo de contorno puedo usar en este caso ?

Answer 1

La sustitución de $e^x=y$ conduce a la integral $$ \int_0^\infty\frac{y^{- 1}}{y+1}\,dy. $$ Esto puede ser calculado de la integración de la función de $f(z)=z^{a-1}/(z+1)$ a lo largo de la cerradura de contorno. Consideramos que la rama de $z^{a-1}$ definido en $\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$$f(-1)=e^{\pi i}$. Para las pequeñas $\epsilon>0$ y de un gran $R>0$, el contorno es el hecho de que el intervalo de $[\epsilon,R]$, el círculo de $C_r=\{|z|=R\}$ hacia la izquierda, el intervalo de $[R,\epsilon]$ y el círculo de $C_\epsilon=\{|z|=\epsilon\}$ de las agujas del reloj. La función de $f$ tiene una simple poste de $z=-1$ con residuo $(-1)^{a-1}=e^{\pi(a-1)i}$. Es fácil ver que $$ \lim_{\epsilon\to0}\int_{C_\epsilon}f(z)\,dz=\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)\,dz=0. $$ Entonces $$ \int_0^\infty\frac{y^{- 1}}{y+1}\,dy+\int_\infty^0\frac {e^{2\pi i}y)^{- 1}}{y+1}\,dy=2\,\pi\,i\operatorname{Res}(f,-1), $$ de donde $$ \bigl(1-e^{2\pi(a-1)i}\bigr)\int_0^\infty\frac{y^{- 1}}{y+1}\,dy=2\,\pi\,i\,e^{\pi(a-1)i} $$ y $$ \int_0^\infty\frac{y^{- 1}}{y+1}\,dy=\frac{\pi}{\sin((1-a)\pi)}. $$