longitud del vector aleatorio gaussiano

Question

Supongamos que tengo un vector aleatorio $x=[x_1,...,x_k]$ s.t. $xN(\mu,\sum)$ . ¿Cómo es la longitud o la magnitud de $x$ ¿Distribuido?

Sé que si $k=2$ y $\sigma_1=\sigma_2$ y $\sigma_{12}=0$ ( $x_1$ y $x_2$ no están correlacionados), es la distribución de Rayleigh.

También sé que $\sqrt{\sum_{i=1}^k(\frac{x_i-\mu_i}{\sigma_i})^2}$ tiene una distribución Chi (sin correlación). Sin embargo, las variables aleatorias están normalizadas por su desviación estándar, que no es más que la longitud de un vector gaussiano de varianza unitaria y media cero.

Si la media no es cero, podemos tener una distribución chi no central. Se trata de un vector gaussiano de media no nula pero de varianza unitaria.

Así que mi pregunta es:

1. Cuando $\sigma_i$ tiene valores diferentes para todos los $i=1,...,k$ ¿Cuál es la distribución de la longitud/magnitud del vector $|x|=\sqrt{\sum_{i=1}^k x_i^2}$ ?

2. Cuando las variables aleatorias están correlacionadas, ¿cuál es la distribución de la longitud/magnitud del vector $|x|=\sqrt{\sum_{i=1}^k x_i^2}$ ?

Answer 1

Consideremos el vector aleatorio $X=(X_1,\dots,X_k)$ tal que $X\sim N_k(\mu,\Sigma)$ .

Establecer $Q(X)=X^TAX=\sum_{i=1}^kX_i^2$ , donde $A=\mathrm I_k$ . Una buena referencia para el estudio de $Q(X)$ es "Quadratic forms in random variables" de Mathai y Provost. En concreto, denotemos por $P$ una matriz ortogonal que diagonaliza $\Sigma$ y escribir $P^T\Sigma P=\mathrm{Diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ . Defina también $$ b=P^T\Sigma^{-1/2}\mu. $$ Entonces, $$ Q(X)=\sum_{i=1}^k\lambda_i\left(U_i+b_i\right)^2,\qquad(1) $$ donde $U_i\sim N_k(0,\mathrm I_k)$ (ecuación $(4.1.1)$ de la referencia). Esto se llama a veces distribución generalizada de Chi-cuadrado y la longitud del vector $\sqrt{Q(X)}$ se denomina, por tanto, distribución Chi generalizada. La transformada de Laplace de $Q(X)$ también se obtiene en la ecuación $(4.2b.6)$ como $$ \mathrm L(s)=\exp\left(-\frac12\sum_{i=1}^kb_i^2\right)\exp\left(\frac12\sum_{i=1}^kb_i\frac1{1+2s\lambda_i}\right)\prod_{i=1}^k\frac1{\sqrt{1+2s\lambda_i}}, $$ para $\left|2s\lambda_i\right|<1$ . Ahora, en general $(1)$ no sigue una distribución conocida. Como se menciona en el OP, si $\Sigma=\sigma^2\mathrm I_k$ y $\mu\neq0$ entonces $Q(X)$ sigue una distribución chi-cuadrado no central. Otro caso que tiene una solución de forma cerrada es si $\mu=0$ y $\Sigma$ es diagonal con elementos $\sigma_1^2,\dots,\sigma_k^2$ . Entonces (c.f. wikipedia así como $[5]$ en ella), si $\sigma_i\neq\sigma_j$ la densidad de $Q(X)$ puede calcularse como $$ f(x)=\sum_{i=1}^{k} \frac{e^{-\frac{x}{\sigma_i^2}}}{\sigma_i^2 \prod_{j=1, j\neq i}^{k} (1- \frac{\sigma_j^2}{\sigma_i^2})}1_{x\ge0}. $$ De esto se puede deducir la distribución de $\sqrt{Q(X)}$ . Se pueden hacer cálculos similares si $\sigma_i=\sigma_j$ para algunos $i,j\in\{1,\dots,k\}$ .

Responder a tu pregunta es un escenario general es más difícil, ya que hasta donde yo sé, estas distribuciones no siguen otras leyes conocidas. Por lo tanto, depende de la aplicación que tengas en mente. Si desea calcular los momentos, entonces usted podría ser capaz de explotar la fórmula $(1)$ . Si quiere aproximarse al pdf de $\sqrt{Q(X)}$ entonces se pueden utilizar algunas de las expansiones asintóticas del capítulo $4$ del libro que mencioné al principio de este post.