Fórmula cuadrática, la naturaleza de las raíces de las Funciones Trigonométricas

Question

El problema original:

Si $0\le a,b\le 3$) y la ecuación $$x^2+4+3\cos(ax+b)=2x$$ has at least one real solution, then find the value of $a+b$

En primer lugar, en la reorganización, tengo la siguiente expresión: $$x^2-2x+(4+3\cos(ax+b))=0$$ I thought this was a quadratic in $x$, and thus from the quadratic formula(and that at least one real root exists), $D\ge 0$ ie $$4-4(4+\cos(ax+b))\ge 0$$

Sin embargo, no estoy muy seguro acerca de esto. He tratado $\cos(ax+b)$ como un término constante aunque el argumento del coseno incluye $x$: la variable en la que la expresión cuadrática. Under these circumstances, is it correct to use $3\cos(ax+b)$ as a constant? If not, how could I use the quadratic formula to find values of $x$ satisfying $$x^2-2x+(4+3\cos(ax+b))=0$$

Muchas gracias de anticipacion!

Answer 1

Con un poco de manipulación, podemos volver a escribir la ecuación dada como $$x^2 - 2x + 4 = -3\cos{\left( ax + b \right)}$$

Deje $f(x) = x^2 - 2x + 4$. La diferenciación de encontrar el mínimo, obtenemos

$$f'(x) = 2x - 2 = 0 \implies x = 1$$ $$f''(x) = 2 > 0 \implies \text{minimum at } x = 1$$

El valor mínimo de LHS es lo $f(1) = 3$.

El lado derecho es un coseno cuyo valor oscila en el rango de $[-3,3]$. El valor máximo de la RHS es lo $3$. Así que podemos ver que la igualdad ocurre si y sólo si el lado izquierdo es mínimo y RHS es máxima. Acabamos de ver que la LHS, $f(x)$, es mínimo, sólo en $x = 1$. Ahora bien, el valor de $x$ es fijo, por lo que el valor de la RHS sólo depende de $a$$b$.

Por lo tanto, tenemos que

$$f(1) = 3 = -3\cos(a\times 1 + b) \implies \cos(a+b) = -1$$

Yo se lo dejo a usted para completar el problema de aquí :)

En una nota lateral: No, No puedes llevarte $\cos(ax + b)$ como una constante desde $x$ no es una constante :)

$a + b = (2n+1)\pi$ pero $0 \le a+b \le 6$. Por lo $n = 0$ $a + b = \pi$

Answer 2

Completando el cuadrado,

$$x^2-2x+1=(x-1)^2=-3(1+\cos(ax+b)).$$

Las dos expresiones sólo pueden ser iguales si son iguales a cero, es decir,$x=1$$\cos(ax+b)=-1$.

Por lo tanto,

$$a+b=\pi.$$

Answer 3

puesto que el $3cos(ax+b)$ se encuentra entre $[-3,3]$

debido a $cos x$ tiene un máximo y mínimo valor de $1,-1$ (respectivamente) a continuación, $3cos x$ tienen $3,-3$

puedo escribir $$-3=<x^2-2x+4<=3$$

estoy completando el cuadrado !

$$\implies -3=<(x-1)^2+3<=3$$

como se puede ver que el término en el interior de la plaza tiene al menos un valor de 0 y de esta ecuación es siempre mayor o igual a 3, a continuación, $(x-1)$ debe ser cero!!!! y $x=1$

y, a continuación, sustituyendo el valor de x, obtenemos $cos(a+b)=-1$ $$\implies a+b=\arccos (-1)$$ $$a+b=\pi$$ y que se solucionó el problema!!