Tres grupos finitos con el mismo número de elementos de cada pedido

Question

Existen pares de grupos finitos $G$ $H$ tal que $G$ $H$ son no isomorfos, sin embargo, tienen el mismo número de elementos de cada pedido. Por ejemplo, si $p$ es un extraño primo, entonces el grupo $$H_{p} = \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} : a,b,c\in\mathbb{Z}_{p}\right\}$$ y el grupo $\mathbb{Z}_{p}^{3}$ ambos tienen exponente igual a $p$ y el fin de $p^{3}$. También, para cualquier par de $G$$H$, al menos uno de $G$ $H$ debe ser no-conmutativa. Mi pregunta es la siguiente:

¿Existen tres grupos $A$, $B$ y $C$, de la misma orden finito, de tal manera que no hay dos de ellos son isomorfos y de tal manera que todos los tres de $A$, $B$ y $C$ tienen el mismo número de elementos de cada pedido?

Idealmente, me gustaría un bonito, la descripción concreta de cualquiera de los ejemplos que podrían existir (de preferencia, el más pequeño ejemplo), o una referencia a una prueba de que no hay ejemplo.

Answer 1

El más pequeño ejemplo ocurre en la orden de 16. Hay 3 nonisomorphic grupos de orden 16, cada uno con 3 elementos de orden 2 y 12 elementos de orden 4. Uno de ellos es el grupo abelian, suma directa de dos grupos cíclicos de orden 4. Otro es el producto directo de los cuaterniones grupo de orden 8 con un grupo cíclico de orden 2. La tercera parte es generado por dos elementos $a,b$ de orden 4 con la relación $aba=b$.

En el libro de Thomas y de Madera, Tablas de Grupo, estos son los llamados 16/3, 16/7, y 16/10, respectivamente. No sé si otras fuentes de utilizar esta numeración.

Answer 2

Deje $G$ $H$ ser los dos grupos de su ejemplo anterior. Entonces $G \times G$, $G \times H$ y $H \times H$ dar un ejemplo.