¿Tiene un esquema de "separification"?

Question

Antecedentes:

(1) Si C y D son las categorías y no es olvidadizo functor U:C→D, entonces C-ification functor F:D→C es un medico adjunto U. Por ejemplo, el (izquierda) adjunto a la olvidadizo functor de los grupos monoids es "groupification" de un monoid, dado por formalmente contigua a la recíproca. El (la izquierda) adjunto a la olvidadizo functor de presheaves a las poleas es la habitual "sheafification" functor.

Tenga en cuenta que cuando usted tiene un (a la izquierda adjunto) C-ification functor F (siempre que tengas una contigüidad, para el caso), se obtiene una característica universal. Para cualquier objeto X∈D, existe un canónica de morfismos (llamado a la unidad de contigüidad) ε_X:X→U(F(X)) con la propiedad de que cualquier morfismos f:X→U(Y) factores como f=U(g)\circ ε_X para un único morfismos g:F(X)→S en C.

(2) Un esquema X es separado si la diagonal de morfismos X→XxX es un cerrado de inmersión. Es suficiente para comprobar que la imagen de la diagonal es cerrado. Estar separados es el algebro-geométrico analógica de hausdorff, que nada en la geometría algebraica es.

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Mi pregunta es si existe una "separification" functor adjunto para los desmemoriados functor U de la categoría de esquemas separados a la categoría de esquemas. Tenga en cuenta que el olvidadizo functor U no respeta colimits (se puede pegar juntos separados esquemas para obtener un no-separados esquema), así que no tiene ninguna esperanza de tener un derecho adjuntos. Pero U no respetar los límites (es suficiente para demostrar que un producto arbitrario de separados esquemas separados y que los productos de fibra de separados de los regímenes separados), por lo que podría tener una izquierda adjunto.

Para decirlo de otra manera, dado un esquema de X, existe un canónicamente definidos separados esquema X^s y una de morfismos X→X^s , de modo que cualquier morfismos de X a un separado esquema de los factores de forma exclusiva a través de X→X^s?

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Preguntas relacionadas con lo que me gustaría saber la respuesta a:

• Hay una "relativa separification" functor. Es decir, no un arbitrario de morfismos de esquemas f:X→Y admite una factorización canónica a través de una separada de morfismos f^s:X→Y. Esto sería análogo a Stein factorización, que considero como "relativa affinification". Un arbitrario (cuasi-compacto y cuasi-separados) de morfismos f:X→Y canónicamente factores a través de los afín de morfismos de Especificaciones_Y(f_*S_X)→Y
• Hay un separification functor para algebraicas espacios? Es posible que el separification de un esquema es, naturalmente, una expresión algebraica de espacio?
• Hay un separification functor para algebraicas pilas? (Una expresión algebraica de la pila está separado si la diagonal es la correcta.)

Answer 1

Creo que es muy poco probable que exista una separification functor. Lo que sí existe es la siguiente:

Teorema (de Raynaud-Gruson): Let' S ser una base de esquema y el trabajo relativo a S. Dado un no-separados esquema X finitos tipo, hay un blow-up (una adecuada birational de morfismos) X'->X tal que X' admite un étale de morfismos a un esquema proyectivo Z (en particular, separada esquema).

Tenga en cuenta que no existen separados de los esquemas que aun no admitir a un cuasi-finito de morfismos en un separado esquema (por ejemplo, tomar Un^2 con un doble origen y blow-up de uno de los orígenes).

El Teorema es falso, como se indicó para no localmente separados algebraica de los espacios. Hay 3 diferentes soluciones a este:

A) Tomar una alteración en lugar de una modificación.

B) Sustituir étale con cuasi-finito plana.

C) Permitir a Z a ser un adecuado pila con finito diagonal.

Answer 2

Aquí es una situación interesante para pensar, lo que podría producir un contraejemplo:

Tomar dos copias de $\mathbb{P}^2$ y considerar la norma cuadrática (Cremona) birational transformación $\tau\colon (x:y:z) \mapsto (u:v:w)=(yz:xz:xy)$, que restringe a un isomorfismo entre la apertura de los conjuntos de $\{xyz\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^2$ y $\{uvw\neq 0\}$ de la otra; ahora llame a $X$ el esquema obtenido por pegado de las dos $\mathbb{P}^2$ juntos por la identificación de estos dos conjuntos por medio de $\tau$. En otras palabras, $X$ es el plano proyectivo con un triángulo se duplicó, pero se duplicó en dos formas diferentes.

Si tomamos el cierre de la diagonal $\Delta \subseteq X\times X$, contiene todos los pares donde la primera parte se encuentra en la recta $x=0$ (de los primeros $\mathbb{P}^2$), dicen, y el segundo es el punto $v=w=0$ (de la segunda de $\mathbb{P}^2$); este cierre no es una relación de equivalencia, pero la relación de equivalencia que genera identifica todos los puntos de las líneas $x=0$, $y=0$, $z=0$ y $u=0$, $v=0$ y $w=0$.

Así que si tratamos de "separify" $X$ de alguna manera quotienting por el cierre de la diagonal que nos lleva a la contratación de tres líneas $x=0$, $y=0$ y $z=0$ en $\mathbb{P}^2$ a un solo punto. Ahora yo creo que esto no se puede hacer (salvo por la contratación de todo a un punto). Esto sugiere que no hay un universal de morfismos de $X$ en una separada esquema (o otra cosa que este separification debería ser un punto, que es sospechoso).

Answer 3

No un separification existen por razones triviales?

Dado un esquema de $X$, considerar la categoría de separados esquemas $Y$ junto con un morfismos $X \a Y$. Ver esto como un diagrama, y tomar el límite inversa. Esto significa que tenemos que tomar el producto de todos los esquemas, $Y$ y $X^s$ igual a la intersección de la cerrada gráficos de cada flecha en esta categoría.

A continuación, todos los morfismos de $X$ en una separada esquema de los factores a través de $X^s$. Sin embargo, esto es único porque, había dos diferentes morfismos, ecualizador sería un vacío cerrado subscheme de $X^s$ que sí que está separado y admite un mapa de $Y$, lo cual es imposible porque $X^s$ tendría que mentir en un mapa de este gráfico.

Entonces tenemos functoriality la manera obvia.

El único problema es conjunto teórico. Sin embargo, de alguna manera creo que sólo necesitamos considerar los mapas separados esquemas de limitada cardinalidades.

Es probable que algunos evidente falla en esta forma de pensar. Si no, creo que los ejemplos de David y Gro-Tsen han llegado con muestran de manera concluyente que no es geométricamente natural de la construcción de la separification.

Answer 4

Carnahan la sugerencia es lo más natural en la categoría de espacios topológicos, pero no está claro si se puede ejecutar en la categoría algebraicas, espacios, puesto que no está claro si las proyecciones a partir de la clausura de la diagonal hacia abajo a $X$ son siempre etale. Tenga en cuenta que incluso para espacios topológicos, quotienting $X\times X$ por el cierre de la diagonal-es decir, quotienting $X$ por la relación "$x\sim$ y si no hay ningún par de abrir los barrios de la U de $x$ y $V$ de $y$ que $U$ y $V$ son disjuntas"-no implica necesariamente un topológico de Hausdorff el espacio, ya que no es una relación de equivalencia: no es transitiva!

Pero este es un problema técnico: la verdadera razón por la que no debería existir una separification es que separatedness es una propiedad geométrica y es difícil reemplazar a un esquema con otro esquema para que un mundial geométrica posee propiedad, por ejemplo, es difícil construir compactifications de esquemas, a pesar de que es relativamente simple en la categoría de espacios topológicos.

En cualquier caso, una manera de producir un separification de un plan para producir un compactification, por ejemplo, a través de Nagata del teorema.