Me dijeron que para encontrar una línea de prueba para $n! \geq (\frac n e)^n$. Estoy advertido de que la fórmula de Stirling no es útil. Me he pasado un poco de tiempo en ella, pero la solución no viene a mí. Me siento como que me falta un evidente truco. ¿Cómo lo hago?
Con referencia a Daniel Fischer respuesta:
Sabemos $e^n = \sum_{k = 0}^\infty \frac{n^k}{k!}$. Es decir, $e^n = \frac{n^0}{0!} + \frac n 1 + \frac{n^2}{2} + \ldots + \frac{n^{n-1}}{(n-1)!}+ \frac{n^n}{n!}$. Deje $x = \frac{n^0}{0!} + \frac n 1 + \frac{n^2}{2} + \ldots + \frac{n^{n-1}}{(n-1)!}$. Por lo $e^n - x = \frac {n^n}{n!}$. Claramente $x \geq 0$, lo $e^n \geq \frac{n^n}{n!} \Leftrightarrow n! \geq \left(\frac n e \right)^n$.
