Considere el problema con la extensión en el grupo de teoría: se dice que $K$ es una extensión de $G$ $A$ es que hay una surjective homomorphism $\phi: K \to G$$\ker(\phi) = A$. Cuántos extensión de $G$ son no por $A$ hasta algunas buenas noción de equivalencia?
Supongamos que tenemos una extensión en la que todos los grupos participantes son abelian. Considere la posibilidad de que $\hom(G,A)$ natural inyecta en $\hom(G,K)$, de modo que podemos formar el cociente $\hom(G,K)/\hom(G,A)$. Además, la extensión de $\phi$ induce un mapa de $\phi_*:\hom(G,K) \to \hom(G,G)$ por la composición. Es claro que el núcleo de este mapa incluye la imagen de $\hom(G,A)$$\hom(G,K)$, debido a $\ker(\phi) = A$. Así es $\hom(G,G) \simeq \hom(G,K)/\hom(G,A)$?
No: simplemente hay que considerar $G = \mathbb{Z}_2$, $K = \mathbb{Z}$ y $A = 2\mathbb{Z}$.
Podríamos frase el problema con la extensión de manera diferente: dado (abelian) grupos de $G$$A$, una extensión de $G$ $A$ es un grupo de $K$ admitiendo una inyección de $i: A \to K$ y un surjection $\phi: K \to A$ tal que $\ker(\phi) = i(A)$. Considere la posibilidad de que $\hom(K,A)$ natural surjects en $\hom(A,A)$ por restricción. Forma el cociente $\hom(K,A)/\hom(A,A)$. Además, el mapa de $\phi$ induce un mapa de $\phi_*: \hom(K,A) \to \hom(G,A)$ por la composición. Es claro que el núcleo de este mapa incluye $\hom(A,A)$ porque $\ker(\phi) = A$. Así es $\hom(G,A) \simeq \hom(K,A)/\hom(A,A)$?
No: sólo considere el ejemplo (reformulados a este problema con la extensión).
¿Por qué? Más específicamente, ¿cuáles son los relevantes cokernels?
La primera dificultad surge de elevación: $G \simeq K/A$, pero hay auto-mapas de $G$ que no levante a los mapas de$G$$K$. La segunda dificultad surge de la extensión: hay mapas de $G$ $A$que no se extienden a los mapas de$K$$A$.
Como los grupos son $\mathbb{Z}$-módulos, usted podría tratar de los módulos a través de sus otros favoritos de anillo. Lo que si intenta cambiar el anillo a través del tensor de producto?
Como la topología, la primera pregunta tiene una respuesta de Sammy Negro, que no utiliza exacta de las secuencias. De nuevo, el problema es que un particular de la construcción no se jugar muy bien con los cocientes.
Este es mi mejor intento de una respuesta. La lección para mí es que es una buena idea pensar a través de estos homológica construcciones sin referencia a una secuencia exacta. Si ver las secuencias como herramientas organizativas, a continuación, "el functor $\mathcal{F}$ no es exacto" sólo significa que "el functor $\mathcal{F}$ no funciona muy bien con esquema organizativo." Pero la relación de homología y de grupo de extensión son muy naturales, sin ningún tipo de lujo diagramas.
